102 J. A. Grunert. Directe Bestimmung der Durchschnittspunkte der Bahnen 



so dass also die Gleichung der Ebene dei' Bahn auch unter der Form 



{y — ^o') sin 4 — (s' — Co) cos /o = 



dargestellt werden kann. Weil nun die Directrix ganz in der Ebene der Bahn liegt, so ist 

 nach 12): 



13) sin «u cos ßa' — cos Zq cos y^' = 0. 



Weil ferner die Directrix auf der Axe der Bahn senkrecht steht, so ist: 



14) cos Xq' cos «o' + cos [j.,,' cos j3g' -f- cos Vu' cos Yu' = 0. 



Aus den beiden vorstehenden Gleichungen folgt, wenn G^ einen gewissen Factor bezeichnet: 



cos ao' = Gö (sin 4 cos Vo' -)- cos 4 cos (Xq'), 



cos ßo' = — (?; cos 4 cos X,;, ^ 



cos Yo' ^ ■ — G-^ sin 4 cos Xo'; 

 woraus man, weil 



cos Gt(,'- -f- cos ßo'" + COS Yu'^ = 1 



ist, sogleich 



Gf- {cos X;- -|- (sin /„ cos Vo' + cos ^; cos fA^y-j = 1, 



und folglicli, weil auch 



cos X^'" + cos (Xq'" + cos Vu'" = 1 



ist, nach leichter Rechnung 



(xo'^ |1 — (sin /y cos |j.o' — cos 4 cos ^^o')'"! = 1 

 erhält. Nach 9) ist aber offenbar 



sin ia cos ji^' — cos /„ cos v^' = 0, 

 also : 



(?o''' = 1 , (to' ^ ± 1 ; 



folglich nach dem Yorhergelienden : 



cos «(,' = + (sin /„ cos V,,' + cos 4 cos jjLu'), 



cos ß,/ = + cos 4 ros X(,', 



cos Yu' = + sin 4 cos X^,'; 



und wenn man in diese Formeln fiir cos X/, cos [x,/, cos v,/ ihre Werthe aus 9) einführt: 



cos a„ = ± 



sec ?'q sin Pq 



Vi + tang /„- sin P^,- 



COS /q cos Pfl 



!•"') \ cos ß^,' = T w . .., . „., 1 



^ 1 r 1 + tang ?„- sin Pq- 



sin /(, cos Po 



V ''°' ^" = + fl + tang//si,rip • 



Die Gleichungen der Directrix sind also nach 12): 



-, p\ ■"' — iq' __ • y' — i>o ^' — gp' 



^ See Jq sin Py cos ig cos Pg sin /q cos 1'^ 



