104: .7. .4. G rnneri. Directe Bestimmwtg der Durchschnittspunkte der Bahnen 



Folglicli kann man auch .setzen: 



a^, = — - 



22) \ t>n = 



-'0 



c -^ 



Vi + tang z'o^ sin Pq^ 



Die Gleichung der Ebene der Bahn im Systeme der xyz ist nach 1) und 19): 



23) {x sin Q„ — y cos Q„) sin 4 + 'S cos 4 = 

 oder 



24) X sin Qo — J/ cos Q^ + '^ cot /,, = 0. 



Die 180° nicht übersteigenden Winkel, welche eine der beiden Richtungen der Direetrix 

 mit den positiven Theilen der Axen der x, y^ z einschliesst, seien resjaective a^, ßo, jo. Die 

 Entfernung eines beliebigen Punktes in der Richtung der Direetrix, auf welche sich die 

 Winkel «„, ß,,, ;'o beziehen, von dem Durchschnittspunkte der Direetrix mit der Axe der Balni 

 sei r. Dann sind die Coordinaten dieses Punktes im Systeme der xyz offenbar: 



r/„ + ;• cos «0, bg + r cos ß^, <?„ 4- r cos '(^: 

 und wenn wir nun, was offenbar verstattet ist, annehmen, dass die Winkel «o, [%, y^ und 

 «g'j ß„', Yci' derselben Richtung der Direetrix entsprechen, so sind die Coordinaten des in Rede 

 stehenden Punktes im Systeme der x' y z auf dieselbe Art wie vorher: 



Oo' + r cos «„', 6; + ;• cos ß;, c,/ + r cos -j-;. 

 Folglieh haben wir nach 18) die nachstehenden Gleichungen: 



Oo + r cos «u = («o' + 1' cos «o') cos Qy — [b^ + r cos ß^') sin Q(„ 

 l\, + r cos ß^, = («o' + ?■ cos O sin Q^ + {b^ + r cos ß,') cos Q„, 

 Co + r cos 7„ = c-; + r cos y^' ; 

 also, weil nach 18). Avie wir auch schon vorher gesehen haben, 



«0 = «o' cos Q« — 6o' sin S, , 

 6o = «; sin Q„ — 6,,' cos Qo , 



ist: 



cos 7-0 = COS oty' cos üy — COS ß^' siu Q„ , 



cos ßo = cos «o' sin Qy -p cos ß„' cos Q^) 

 COS Yo = COS Yo'. 



Führt man nun in diese Formeln für cos «„', cos ßu', cos Yu' ihre Werthe aus 15) ein, so erhält 

 man : 



See j'o sin Py cos Öq + cos »Q cos Pq sin Qq 



cos a„ = ± 



25) , COS 3„ = ± 



1^ l -(- tang i'o^ si„ p^-i 

 sec /y sin Pq sin Si,) — cos i'o cos P^ cos Öy 



COS Yo = 



