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I. Die fuiidanientalen Eigens cliaftcii der algebraisclieii Gebilde (ibei'liaupt. 



§• 1- 



Die Gleichungen der Gebilde. 



Man setze voraus, die allgemeine Coordinatengleiclmng des jz'"" Grades sei in der Weise 

 geordnet, dass je alle Glieder, welclie hinsichtlich der Coordinaten x y von einerlei Grad 

 sind, bei einander stehen; zugleich bezeichne man durch %^ die algebraische Summe jener 

 Glieder, in deren jedem die Exponenten von x und _?/ die Summe n — r ausmachen, so dass 

 der Form nach 



a, = R.x"-'^ -f i?, x^-'-'y -^ i?2 x"-'-' . y- + . . . 



ist. Dieser Feststellung gemäss ist die allgemeine Gleichung der zur ja'"" Ordnung gehörigen 

 Gebilde 



=r 2 + 3;, + S, + . . +%n- 



Für den durch % bezeichneten ßestandtheil setze man, in Übereinstimmung mit der all- 

 gemeinen Norm, folgende Form voraus: 



% = x" — K, x"-' . y 4- lux"-- .y' — . . . . 



wo der Coefficient von x" der Einheit gleich gesetzt ist, was ohne Störung der Allgemeinheit 

 geschehen darf. 



1. Fasst man den Eestandtheil Z, ohne Beziehung auf die Gebildegleichung, lediglich 

 als algebraischen Ausdruck auf, so stellt sich derselbe als das Product von n binomischen 

 Factoren von der Form x — ay dar. Aus den Coefficienten Ky K., ■ . ■ K„ lassen sich nämlicli 

 n Grössen a^ a.^ . . . a„ so bestimmen, dass folgenden Gleichungen genügt wird: 



/f, =ai + a., + . . . -f- a„, Ä", = aiao + 010, + . . . -)-a„_ia„, . . . A",, = a, «o «3 . . . a„ 



Unter dieser Bedingung ist aber 



%=^{x — a,y){x^iuy). . {x — a„y). 



2. Weil in dem Bestandtheile % = x" — K^x"-^y + . . . der Coefficient von x" der Ein- 

 heit gleich ist, und alle Glieder von % homogen sein müssen, so sind die Coefficienten 

 /r, K.2 . . . Grössen von Dimensionen. Von eben so vielen Dimensionen sind also auch die 

 Grössen a, a., . . . a„, d. h. dieselben sind Zahlgrössen. 



Um zu der Form dieser Zahlgrössen zu gelangen, halte man fest, dass zu den Gebilden 

 der ji^"" Ordnung auch die Aggregate von n geraden Linien gehören, also die Gleichung 

 eines solchen Aggregates in der allgemeinen Gebildegleiclinng = 3: -1- S^i + ■ ■ ■ enthalten 



