(xrundgesetze der Configuration der algehraisclicn Ourven. 341 



sein miiss. Wenn aber, untei- Voraussetzung rechtwinkeliger Coordinatcn, den Linien eines 

 solchen Aggregates die Gleirliungen 



0=x — y.cotX^ — q^^{)^x — y.cotX., — q.,^ 



zukommen, so ist das Product dieser Sätze die Gleichung des Aggregates, und in dieser ist 

 derjenige Bestandtheil, in dessen einzelnen Gliedern die Exponenten von x und y die 

 Summe n ausmachen, das Product aus den Binomien 



X — y .cotXi , X — ycotL , . . . x — ycotA,,. 



Dieses Product ist aber, wenn lediglich auf die Form gesehen wird, der erste Bestandtheil % 

 von der allgemeinen Gebildegleichung, unter der Bedingung, dass jede der Zahlgrössen 

 «i a.> . . . a„ als die Cotangente eines "Winkels genommen wird. Sind also «, o..> . . . a„ solche 

 Winkel, deren Werthe den Gleichungen 



K^^^cota^ -{- cota.;,-^- . . ^ cota.,,^ Jv.^^=cotu.^cotO.^-\- cnta.^cota^-\- 



geniigen, so ist in der allgemeinen Gebildegleichung der erste Bestandtheil 



% =1 {x — ycota^{x — ycota..,) . . . (x — ycoto.,). 



3. Nach den vorangehenden Relationen zwischen cot a^, cota.^ .... und Xj, lu ■ ■ • ■ sind 

 die Grössen cota^ . . . . cota,^ die Wurzeln von folgender Gleichung 



= cot «" — /ii cot a"-' + Ko cot a"-' — . . , . 



Zu dieser Gleichung gelangt man aber dadurch, dass man in dem Bestandtheile 



Z = x"^K^x"-'y -^ Iux"-'y'— . . . 



cosa statt x. und sinrx statt ?/ einführt, und den resultirenden Ausdruck ^ setzt. 



§. 2. 

 Die asymptotischen Richtungen der Gebilde. 



Die Winkel a^a.„ . . . . «„ im vorigen Paragraphe erscheinen zunächst als Hilfsgrössen ; 

 betrachtet man dieselben aber als Kichtungen von Linien, so haben sie in Bezug auf die 

 Gebilde eine ganz wesentliche Bedeutung. Man setze voraus, das durch die Gleichung 

 ^ Si -)- SJj -[- . . . . angegebene Gebilde der w"^'' Ordnung werde von einer geraden Linie TT 



X — y cot X — q ^ 



durchschnitten, und führe denWerth x=^ycotX + g'in der Gebildegleiehung ein, um dieDurch- 

 schnittspunkte zu bestimmen. Auf diesem Wege erhält man eine Gleichung für y von der Form 



Q^E.^f + E,. y"-' + . . . + E„ 



welche vom n^'" Grade ist, und die Ordinaten y jener Punkte angibt, welche das Gebilde mit 

 der Linie TT gemein hat. Die Anzahl dieser Punkte ist also = n. 



Deukschrirteu der mathem.-naturw. Gl. XIX. Bd. Abhatidl. v. Nichtmitgl. tt 



