Grundgesetze der Configuration der algebraischen Curven. 343 



Fiilu-t man diese Werthausdn'icko i'iir x und y in der Gebildegleiclnuig ein, s<> entspringt 

 eine Gloicliung. weldip in Rücksicht auf r vciin /i'"" Grade ist, unil eben desslialb die Wertlie 

 der Segmente ?•, r., . . . r„ angibt. 



2. Behufs der Ableitung der erwähnten Gleichung für r setze man voraus , in der 

 Gebildegleiehuug sei der erste Bestaudtheil % iu binomische Factoi'en zerlegt, oder es sei 



%=i{x — xjcota.^{x — ycota.) .... {x — ycota-,)\ 



ferner nehme man an, es werde die Gebildegieiehung mit dem Producte sin a^ sin a^ . . sin «„ 

 mulfi]ilicirt. Dadurch wird der erste Bcstandtheil der Gleichung in das Product 



[xsina^ — ycosa^) (xsina., — ycosa.,) . . . (xsino.,^ — ycosu,) 



verwandelt, an der Form der übrigen Bestandtheile wird dagegen nichts geändert, weil die 

 Coefficienten dieser Bestandtheile unbestimmt sind, und durch das Hinzutreten eines nume- 

 rischen Factors eine zu beachtende Änderung nicht erleiden. Hiernach ist also, wenn man 



%:^[xsina^ — y cos a^ {xsina., — ycosa.^ . . . (xsina,^ — ycosa.,) 

 %^ = Q<rta;"-P + Q[^'>x'-f-'y + Qfxr-^--if + . . . 



setzt, die allgemeine Gebildegleichung = 2; + SJ;i + S;., + . . . + $„. In dieser führe 

 man statt x und statt y die angegebenen Werthausdrücke r . cosu -\- ^ mid r . sinu + jy ein, 

 und ordne die sich ergebenden Glieder nach den Potenzen von r. 



3. Man kann die vorgeschobene Substitution und die Anordnung nach den Potenzen 

 von r abgesondert in jedem einzelnen Bestandtheile der Gebildegleichung vornehmen. Dabei 

 werden die Bestandtheile Z'ii ■ ■ . ihrer Beschaffenheit gemäss in Ausdrücke von folgenden 

 Formen verwandelt: 



Z = ff .r" -j- ff, . r"-' + ff., . r"-- + . . . + i/„ 



Z, = iZ"(" . ?■"-' + //f ' . ?•"-- + ff^'^ . r"-' + . . . -f ff(;_l^ (E) 



% = //(^' . r"-- + fff^ . r"-^ + ff^ . r"-* + . . . + ff^.. 



Verbindet man diese Ausdrücke durch Addition, und setzt das Gesammtresultat = 0, so 

 erhält man die gesuchte Gleichung für r. Die Segmentengleichung ist also 



F„ . r" + F„_, . r"-> + F„_., . r"-' + . . '. +F, . r + F= (I) 



wo die Coefficienten F„ F,,_^ . . . nach folgender Vorschrift gebildet werden : 



F,. ^ff 



K_, = ff, +^f') 



F„_, = ff., + ffi'^ ^ ff^^ 



F, = //„_, + iz;w, 4- . . . + ff'"-'' 



F =//„ + ffi%+ . . . +^!") 



4. Die Gleichung [E) gibt für r die ^^ Werthe au, welche den Segmenten r^ r., . . . r„ 

 zukommen. Zwischen diesen Segmenten und den Coefficienten F,^ F,,^^ . . . der Gleichung {I) 



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