Grundgesetze der Configuration der algebraischen Ciü-ven. 347 



mentcu ?•, r., . . . r„ die Suinine (^i r.^ . . . ?•„)*''' gebildet, welche alle Producte begreift, von 

 dcnon jedes </ verschiedene Segmente als Factoren enthält. Dabei gilt die Voraussetzung, 

 dass ein Gebilde L von einer Transversalen TT in den Punkten Pj, Po, . . . P„ durchschnitten 

 werde, und dass O ein Punkt in TT sei, von dem ab man die Segmente r, j\ . . . ?•„ rechnet. 

 Wenn nun u die Richtung der Linie TT ist, und ^ ly die Coordinatcn des Punktes sind, so 

 wird der Werth der vorstehenden Productensumme nach (I.^) durch 



angegeben. In diesem Werthausdrucke ist der Nenner F,^ = II, also das Product aus den Grössen 

 sin («1 — u) sin [o..-, — ?<) . . . . , aber der Zähler F,^_^ eine algebraische Function von c und tj, 

 welche zugleich den Winkel u enthält. Bei einem bestimmten Werthe von u ist daher der 

 Nenner F„ bestimmt, der Zähler i^,_^ aber nicht, so lange nicht auch ^ und tj bestimmt sind. 

 Bei bestimmten Werthen von u, c, rj ist dagegen nicht allein F^, sondern auch F„_^ bestimmt, und 

 somit der Werth der Productensumme (j\ r., . . . r„)'''' gegeben. Durch die Werthe von c und 3y 

 wird aber zugleich dem Punkte eine bestimmte Stelle angewiesen und damit auch die Lage 

 der Linie TTbestimmt, weil TT durch geht. Für diese Lage von TTkommt der genannten 

 Productensumme der gegebene Werth zu. 



Lässt man bei einem gegebenen Werthe von u die Coordinaten ^tj unbestimmt, setzt 

 aber für den Zähler F„_^ einen Werth direct voraus, so wird, weil wegen u auch F,^ gegeben 

 ist, ebenfalls die Productensumme [r^ i\ • . - Y'-^ ihrem Werthe nach bestimmt, zugleich aber 

 eine Gleichung zwischen f und tj festgestellt, eine Bedingung, welcher die simultanen Werthe 

 von 6 und vj zu genügen haben. Die Lage von wird durch ein Paar simultaner Werthe von 

 q und fj angegeben; es kann daher jeder Punkt sein, dessen Coordinaten der Gleichung 

 zwischen c und tj genügen. Und weil in TT liegt, also TT durch geht, so gilt der 

 gegebene Werth der Productensumme (^i r^ . . . )•*' für alle Transversalen, welche nach der 

 Richtung u und durch solche Punkte gehen, deren Coordinaten der erwähnten Gleichung 

 zwischen ? und tj genügen. 



1. Unter Voraussetzung eines bestimmten Werthes für u nehme man an, es sei F„_^ =i 0, 

 so wird nach (Jj) zwischen c und tj die Gleichung 



iz; + Ein, 4- Hß,,+ . . . + n^''' = (^,) 



festgestellt. Vermöge der Beschaffenheit ihrer Bestandtheile H^H^Üi ... ist diese Gleichung vom 

 y'^" Grade; dieselbe gibt daher ein Gebilde der g''"" Ordnung an. Dieses Gebilde soll mit »9^ 

 bezeichnet werden. 



In Folge des Werthes i^,_^ = wird nach (Z) auch 



(r, r,... rj''>^ = (S,) 



Diese Relation zwischen den Segmenten 7\ r., . . . besteht aber nur unter der Bedingung, 

 dass ein Punkt sei, dessen Coordinaten cjy der Gleichung ('9J genügen, dass also ein 

 Punkt des Gebildes >'/„ sei. Demo-emäss ist ein gemeinsamer Punkt der Linie TT und des 

 Gebildes &^. Weil aber das Gebilde &^j von der g''" Ordnung ist, so geht die Linie TT 

 möglicher Weise in q Punkten durcli 3^^. Die Gleichung (S^) zwischen den Segmenten 7\ r, . . . 

 setzt also voraus, dass einer von jenen Punkten sei, in welchen TTdurch das Gebilde S^ geht. 



