Grundgesetze der Conßguration der algebraischen Curven. 349 



tung ?< gehende Linie TT in solchen Punkten schneidet, dass zwischen den Segmenten 

 r, r., . . . , welche von einem dieser Punkte an gerechnet werden, die Gleichung 



(r, r, . . . r„)<'" = 



stattfindet. Es muss ferner als möglich zugegeben werden, dass bei irgend einem besonderen 

 Wertlie von u der Ausdruck F„_^ aufhört eine Function von ^ und rj zu sein. In solchem 

 Falle fehlt die Gleichung i^,_, = 0, und es kommt also für den besonderen Werth von u dem 

 Gebilde L ein Diameter ^^ nicht zu. Dagegen ist nach der Beschaffenheit des Ausdruckes i^^ 

 nicht möglich, dass dieser Ausdruck in Bezug auf irgend ein Gebilde L der ^^"'° Ordnung bei 

 jedem Werthe von ic aufhöre eine Function von ^ und tj zu sein, Demgemäss kommen jedem 

 Gebilde L der ?^'^°■Ordnung Diameter der 1"^°, 2"=" . . . {n—iy" Ordnung zu. 



§• 6. 

 Asymptotische Diameter. 



In dem besonderen Falle, wenn die Transversalenrichtung ti einem von den Winkeln 

 «1 «o . . . a„ gleich, also eine asymptotische Richtung des Gebildes L ist, sollen die zuge- 

 hörigen Diameter &i Ä, . . . ?9„_j asymptotische Diameter heissen. Nach der Gleichung (i^) 



(r,r,. . .r„r = (-iy.^ 



n 



scheint es zwar, dass einem Gebildet keine asymptotischen Diameter zukommen. Denn auf 

 der rechten Seite dieser Gleichung ist der Nenner i^, das Produet aus den w- Grössen 

 sin («1 — u) sin [a.^ — u) . . . . ; es wird also, wenn man u = a^ oder = a.^, . . . . setzt, i^ ^ 0, 

 und in Folge dieses Werthes kann man aus der vorstehenden Gleichung in Bezug auf asymp- 

 totische Diameter keine Schlüsse ziehen. Es besteht aber zwischen den Coefficienten F„F„_i . . . 

 der Gleichung (I) und den Segmenten f\ r„ . . . . auch die Gleichung (Z') 



Uj T, r,J ^ ' F 



und diese gibt den verlangten Aufschluss. Hieraus folgt zunächst, wenn q = n gesetzt wird, 



.(") F. 



In n 



Wenn aber die Transversale TT, von welcher vorausgesetzt ist, dass sie in P^ P^ • • ■ das 

 Gebilde L durchschneide, nach einer von den asymptotischen Richtungen a.^ fu . . . a^ gelit> 

 so ist F„ = 0, mithin auch 



(») 111 1 _ 



. -= 0. 



^11 1 y"^ 1 1 1 



^ '•i '■•2 ' ' ''•„'' »-i * '•2 ' H 



1 1 



Hieraus folgt, dass von den Grössen eine oder mehrere verschwinden; ob nur 



eine derselben = ist, oder ob mehrere verschwinden, muss man als von der Natur des 

 Gebildes L abhängig betrachten. 



Man nehme an, dass n — fi von den genannten Grössen verschwinden, und zwar dass 



= = =...=- = (e) 



''h.+I '"li+2 ''hl+S ^n 



Deukschriften der mathem.-naturw. C'l. XIX. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgliod. mi 



