Grundgesetze der Cnnßguraünn der algebraischen Curven. 35i' 



Hierdurch wirii der Zusammonhano' der zwei Grössen 



*& 



sin (p — l) ^ s'« (« — ^) 



und 



sin ip — X^) sin (u — -ij) 



angegeben; die Gleichung dient also zur direeten Bestimmung der einen dieser Grössen durch 

 die andere. 



§.9. 

 Diametrale Gebilde der Diameter. 



Jedem Diameter eines Gebildes L, welcher von einer höheren als der ersten Ordnung 

 ist, kommen auch diametrale Gebilde zu, und der zu irgend einer Eichtung u gehörige 

 Diameter ß„_^ der (n— j?)'"" Ordnung hat diametrale Gebilde der 1'^°, 2'^", 3'^° . . . (»— p— 1)'°° 

 Ordnung. Da nun solche Gebilde ebenfalls von dem Gebilde L abhängen, also das Gebiet 

 der Eigenschaften des Gebildes L erweitern, so ist die Kenntniss der Bildungsgesetze ihrer 

 Gleichungen unerlässlich. Es sollen daher im Folgenden diese Bildungsgesetze entwickelt 

 werden. 



1. Der Diameter &„_p der (« — ^9)"" Ordnung wird durch die Gleichung F^ = angegeben. 

 Wenn nun u die Transversalenrichtung ist, zu welcher der Diameter »9„_^, gehört, so kann 

 die Function F^ nach dem Satze (III) in §. 4 ausgedrückt werden, und in Folge dessen hat 

 man für den zu u gehörigen Diameter ß die Gleichung 



= . . cot U" + ^~~- . . cot U"-^ + ^— . ; . cot W 



P' dPF „ 



+ + . . cot U° 



ipll dr/ 



(-9.-.) 



Der Ausdruck auf der rechten Seite in dieser Gleichung soll durch Z angezeigt werden. Dar- 

 nach ist Z eine bestimmte Function von c nnd t]. Sind ^jy die Coordinaten eines Punktes 

 vom Diameter ?9„_^,, so ist ^=0; gehören aber die Coordinaten ^yj einem Punkte an, der 

 nicht im Gebilde ß„_^ liegt, so ist Z nicht = 0. In dieser allgemeinen Auffassung soll Z 

 genommen werden. 



Wenn für ein diametrales Gebilde von &„_p, das von der (?z — p — q)'"' Ordnung ist und 

 zur Transversalenrichtung v gehört, die Gleichung angegeben werden soll, so ist zunächst 

 zu bemerken, dass die Ordnungszahl 71 — p — q um q kleiner als die Ordnungszahl n — j) des 

 Gebildes i9,,_p ist. Nach der obigen Vorschrift hat man also von Z folgende Differentiale 



zu bilden: 



(f'Z d'^z diz 



d^'i dS'^-'dri dS'^-^.dri^ 



und die Gleichung für das diametrale Gebilde der (n — p — qf"' Ordnung von &„_p wird 



oL 



= — cotv'i -I- ~ cotv''-^ + -^ cotv'^ ' + . 



j"'-! d^Z g"-' d''Z J--1 d-^Z 



WO die Differentiale von Z durch ihre Werthe zu ersetzen sind. Für die Angabe dieser Werthe 



ergibt sich nach der Bedeutung von Z die Vorschrift: 



diZ /^-i dP + 'i? _^^_,^ , /'"'', dP + ''F „„,,p_i 



cotu" + ~ ' cotu^""- -{- 



d^l-'^-dTi'' lOli d=i' + 2-''. cZ/ Uli (ZfP + S-*-"<Z,'' + ^ 



