Grundgesetze der Configuration der algebraischen Curven. 359 



Hiernacli bestiniuuMi die zwei (ileichuno'en 



*o^ 



/-' <£'' + '/.' ^ „ ;-''-' rf'' + 'i^ 



= ^ = — cotu^ + ^ — cotW-' + ^^ — cot IIP--' + . . . (I) 



und 



= L . -± ^ cotie ^r —, — cotitP-' + ^^ ^^-^ co^u^-^^ . . . (TI) 



die Coordinaten c3y eines Punktes, welclier allen diametralen Gebilden der {ii — j^ — l)'"" Ord- 

 nung von &„_^ gemein, mithin ein Mittelpunkt des Diameters ß„_j, ist. 



Zu den vorstellenden Gleichungen gelangt man auch dadurch, dass man in der obigen 

 Gleichung für die diametralen Gebilde der [n — p — 1)"'" Ordnung y = und y ^ 90 Grad 

 setzt. Durch (I) und (II) werden also zwei diametrale Gebilde der [n — p — 1)"" Ordnung von 

 ^n-p angegeben, und die Punkte, in welchen diese zwei Gebilde einander schneiden, sind die 

 Mittelpunkte des Diameters &„_j,. 



1. Der Diameter (9„_^, dessen Mittelpunkte durch die Gleichungen (I) und (II) bestimmt 

 werden, gehört zur Richtung u. Ändert man also in (I) und (II) den Werth von ^<, so erhält 

 man die Mittelpunkte eines anderen Diameters ^„_p. Diese Mittelpunkte von dem ganzen 

 Systeme der Diameter &„_^ liegen alle mit einander in einem bestimmten Gebilde. Setzt man 

 nämlich voraus, dass die Grössen ^rju in (I) eben die Werthe haben als in (II), und 

 eliminirt ii^ so erhält man eine Gleichung zwischen c und :y, welche ein Gebilde angibt, und 

 in diesem müssen die Mittelpunkte eines jeden Diarneters (5i„_^ liegen. Die Gleichung zwischen 

 c und 3y, welche durch die Elimination von u aus (I) und (II) gewonnen wird, ist von keinem 

 höheren als dem 2^ [n — p — 1)"° Grade; daher ist das Gebilde, in welchem die Mittelpunkte 

 aller Diameter *„_^ liegen, möglicher Weise von der 2jj {n — i? — l)'"" Ordnung. Dieses Gebilde, 

 welches die Mittelpunkte der Diameter if9„_^ enthält, soll mit M^ bezeichnet werden. 



2. Der zur Richtung u gehörige Diameter B^-p-i ^O'^ ^^^'^ Gebilde L ist zugleich ein 

 diametrales Gebilde der {n — p — 1)"" Ordnung des zu u gehörigen Diameters *„_^, und geht 

 daher durch alle Mittelpunkte dieses Diameters. Weil nun eben diese Mittelpunkte auch in 

 dem Gebilde ilf^ liegen, so kommt dem Diameter *„_^_i nothwendig eine besondere Stellung 

 gegen das Gebilde ili^ zu. Vorerst bemerke man, dass die Mittelpunkte zu gleicher Zeit 

 Punkte des zu u gehörigen Diameters &n-p-i ""<i ^^s diametralen Gebildes (I) sind. Daher 

 muss die Gleichung des Gebildes M^ sich auch dadurch ergeben, dass man aus der Gleichung 

 des Diameters «9„_^_, und aus der Gleichung (I) die Grösse ii eliminirt. Die Gleichung des 

 Diarneters i^„—p-\ ist aber 



U = -^—l COtllP^' + ^ ' . COtU" ^ 



jOll rff'' + ' jlil d^l' . drj 



und wenn man diese Gleichung nach u difterentiirt, so entspringt die Gleichung (I). Daraus 

 folgt nun, dass das Gebilde M^, von dem Diameter &n-p-i tangirt wird, und zwar in den 

 Punkten, welche zugleich die Mittelpunkte des Diameters ß„_^, sind. 



3. Weil im Gebilde il/^, die Mittelpunkte aller Diameter *„_^, liegen, so wird J/, auch von 

 Jedem Diameter (9„_p_i tangirt. Es ist also M^ das einhüllende Gebilde aller Diameter '9„_^_,. 

 Es tangiren also die Diameter »9i des Gebildes L ein Gebilde M„_„ der (2 n—^f Ordnung, 



