Grundgesetze der Conßguration der algchnti^chen Curven. 3G1 



Von solclicn Cicbililen I. liahon die Gleicluingcii der zu einerlei Riclitung u gehörigen l)ia- 

 meter H^ f/., . . . nicht allein die ersten Bestandtheile i/, IL 11^... II„_i, sondern auch die 

 zweiten Bestandtheile 7/^'' ///'■ 7/J'' . . . JI,',% niit einander gemein. Die Gleichung für die 

 Diameter /9, ist 



7/, + 77^'^ = 



und enthält nur zwei Bestandtheile; dieselbe gibt also unverändert für alle Gebilde L, deren 

 Gleichungen die Bestandtheile St 2, mit einander gemein haben. Daraus folgt, dass das 

 System der Diameter S^ des einen Gebildes L auch allen anderen Gebilden L zukommt. 



3. Man setze voraus, dass die Gleichungen mehrerer Gebilde L die Bestandtheile St $i 5^2 

 mit einander gemein haben. Von solchen Gebilden L haben die allgemeinen Diameter- 

 gleichungen nicht allein die ersten und die zweiten, sondern auch die dritten Bestandtheile 

 77'"' ///"' Hj-- .... II,i% mit einander gemein. Den erwähnten Gebilden 7J kommt demnach 

 ein und dasselbe System von Diametern ü9, zu. Weil ferner die Gleichung 



für die Diameter »9, nur drei Bestandtheile enthält, so haben die gedachten Gebilde L auch 

 nur ein und dasselbe System von Diametern &.^. 



■i. Wenn die Gleichungen mehrerer Gebilde L die Bestandtheile 3: üt, $.,... St, mit ein- 

 ander gemein haben, so gelten die Diametergleichungen 



H, + if'-' = 0, Ä + ///■) + T?'-^' = 0, . . . f/, + 77«, + H}^, + . . fi-«" = 



unverändert für jedes der erwähnten Gebilde L; es ist bei allen diesen Gliedern das System 

 der Diameter ß^ ^o, . . . &^ ein und dasselbe. 



§• 13. 

 Eintheilung der zu einer Ordnung gehörigen Gebilde. 



Jedem Gebilde der ?«"" Ordnung müssen 7t asymptotische Richtungen, und zugleich Dia- 

 meter der 1"" 2'"" .... (?2 — l)"" Ordnung zukommen. Durch diesen Satz, dessen Richtigkeit 

 im Obigen dargethan ist, sind die Grundbedingungen der Existenz eines Gebildes aus- 

 gesproclien. Werden also Gebilde als bestehend oder als möglich betrachtet, so ist eben da- 

 durch, vorausgesetzt, dass ihnen die erwähnten fundamentalen Eigenschaften zukommen. Ist 

 aber dies der Fall, so bilden eben diese Eigenschaften den Ausgangspunkt beim Aufsuchen 

 der Gebilde. 



1. Unter demjenigen, was einem als möglich gedachten Gebilde zukommt, stehen die 

 asymptotischen Richtungen a, a_, . . . a„ in erster Linie, wie denn auch in der Gebildeglei- 

 chung = St + iti -f . . . der Bestandtheil St, welcher die asymptotischen Richtungen 

 enthält, nicht etwa nach Belieben, sondern noth wendig an der ersten Stelle steht, und zwar 

 desshalb, weil durch St die Ordnung des Gebildes bestimmt wird. Überdies hängen die Dia- 

 meter von den asymptotischen Richtungen ab; letztere gehen also den Diametern voran. 

 Es ergibt sich hieraus, dass die erste oder oberste Eintheilung der zur ??"" Ordnung gehöri- 

 gen Gebilde nach den asymptotischen Richtungen gemacht werden muss. 



