Gnindgesct~e der Cov-fignrnthn der alqebram-hen Curven. 363 



Die Anzahl der Tlieile, aus wolchen eine Zerfallung besteht, drüekt die Anzahl der 

 wirklich vorhandenen asymptotischen Kiehtiingen aus , und die einzelnen Theile einer Zer- 

 fallung geben durch die Menge ihrer Einheiten an, wie vielfach die Richtungen sind. In 

 erster Linie steht überall die zu zerlallende Zahl ?2, und zwar als ihre Zerfällung in einen 

 Theil. Diese eintheilige Zerfällung bezeichnet den Fall, dass alle Winkel a, a^ . . . einander 

 gleich sind, ein Gebilde also nur eine einzige asymptotische Richtung wirklich hat, welche 

 aber relativ jd'ach ist. Die so beschaffenen Gebilde gehören in jeder Ordnung zur ersten 

 Classe. 



Durch die ZerfällunQ-en der Zahl n in zwei Theile ergeben sich die Classen von solchen 

 Gebilden, welche nur zwei verschiedene asymptotische Richtungen wirklich haben u. s. w. 



1". Von den asymptotischen Richtungen, welche den Gebilden einer Classe zukommen, 

 ist jede einzelne, mit welcher keine andere gleich, vielmal vorkommt, unbedingt reell. Wenn 

 aber zwei Richtungen mit einander gleich vielmal vorkommen, so können dieselben mit 

 einander reell, möglicher Weise aber auch mit einander imaginär sein. In Hinsicht auf solche 

 Richtungen muss man also in derselben Classe zweierlei Gebilde unterscheiden. Solche 

 Gebilde, welche zu einerlei Classe gehören, und sieh dadurch von einander unterscheiden, 

 dass, an der Stelle der imaginären asymptotischen Richtungen bei den einen Gebilden, reelle 

 Richtungen bei den anderen Gebilden sind, hängen auf eine merkwürdige Weise zusammen. 

 Dieser Nexus tritt schon bei den Curven Ellipse und Hyperbel der zweiten Ordnung hervor, 

 und findet sich bei den Curven aller höheren Ordnungen. 



2. Sind die asymptotischen Richtungen für die Gebilde einer Classe gegeben oder vor- 

 ausgesetzt, so kann man auch die asymptotischen Richtungen aller Diameter der Gebilde 

 ano-eben. Hiedurch sind aber die Diameter selbst nicht bestimmt, weil sie auch von den Coef- 

 ficienten der Bestandtheile 3^1 S^a . . . abhängen. Indessen macht eben der Umstand, dass die 

 <i-enanuten Coefficienten mit den Diametern zusammen hängen, es möglich, die Bedeutung und 

 die Werthformen der Coefficienten zu ermitteln. 



2". Zuerst kommen die Diameter Oj erster Ordnung in Betracht, deren allgemeine Gleichung 



11, + m-» = {»^ 



ist. Weil die asymptotischen Richtungen Oj a., . . . für die Gebilde der Classe vorausgesetzt 

 sind, so ist in vorstehender Gleichung der erste Bestandtheil i7, gegeben und man kann für 

 jeden Werth der Transversalenrichtung u die Richtung des zugehörigen Diameters &j bestim- 

 men. Die so erhaltenen Richtungen der einzelnen Diameter bleiben für alle Gebilde der 

 Classe unverändert. Die Lage der einzelnen Diameter hängt von dem Bestandtheile JI^^\ also 

 weil 



ü'^' = go' . cosvl'-^ + Q^ . cosvC'-"- . sin 10 + . . . . 



ist, von den Coefficienten Q''' Q/' . . . des Bestandtheiles %, ab. Sind diese Coefficienten 

 o-egeben, so ist auch die Lage jedes einzelnen Diameters, mithin das System aller Diameter 

 Dj bestimmt. 



Sind aber die Coefficienten Q'-^^ Qi'' . . . nicht bekannt, und sollen die Werthe derselben 

 ermittelt werden, so kommt zunächst die mögliche Beschaöenheit des Systems der Diameter 

 öl in Betracht, und es ist im Besonderen die Frage zu untersuchen, ob in Hinsicht auf 

 Beschaffenheit nur eine Art, oder ob mehrere Arten von Systemen der Diameter \), möglich 

 sind. 



