Grundgesetze der GonfiguraUon der algebraischen Curven. 365 



.3. Die im Vorhergehenden angezeigte Untersuchung führt, wenn dieselbe bis zu den 

 DianietLM-n }>„_i fortgesetzt wird, in Bezug auf die zu einer Classe gehörigen Gebilde L zu 

 zweierlei Resultaten. Man lernt erstens die möglichen Systemarten der Diameter von einerlei 

 Ordnung, und zugleich auch den Zusammenhang kennen, in welchem die Systemarten der 

 Diameter verschiedener Ordnung stehen; zweitens erhält man allgemein die zu einer System- 

 art der Diameter i)„ ffehörisifen Werthe der Coefficienten von 3^„ . . . 



Durch diese Resultate wird man in den Stand gesetzt, Complexe aus je solchen ')i — 1 

 Systemarten der Diameter i>i i>o . . . i>„_i zu bilden, von denen keine zwei von einerlei Ordnung 

 sind, und stets jede höhere Systemart zu allen vorhergehenden niedrigeren gehört. Solcher 

 Complexe sind so viele möglich, als Systemarten der Diameter ^„„i unterschieden werden 

 können. Denn nach der ganz besonderen Beschaffenheit eines Complexes, und nach dem 

 Zusammerdiang der zu verschiedenen Ordnungen gehörigen Diametersysteme kann wohl ein 

 Diametersvstera der 1""' oder der 2'"" . . . oder der (n — 2)'"^ Ordnung in mehreren Complexen 

 vorkommen, dagegen ein Diametersystem der (n — l)'"" Ordnung lediglich einem Complexe 

 angehören. Zu den Diametersystemen, welche in einem Complexe enthalten sind, gehören 

 bestimmte Werthsysteme der Coefficienten von den Fiestandtheilen 'S.i'^., • • • '^„-\^ i^i^d wenn 

 man die Werthe der einzelnen Coefficienten in der Gebildegleichung einführt, so sind in der 

 resultirenden Gleichung die in den Bestandtheilen % %^ %., . . . S;„_j vorkommenden Constanten 

 nach Bedeutung und Werthform vollkommen bestimmt. Der letzte Bestandtheil $„ der Gebilde- 

 gleichung bleibt aber hierbei unbestimmt; die gewonnene Gleichung gehört also nicht einem 

 Gebilde, sondern so vielen Gebilden an, als der letzte Bestandtheil %„ verschiedene Werthe 

 annehmen kann. Alle diese Gebilde, deren Gleichungen also die Bestandtheile % %y . . . %„_^ 

 mit einander gemein haben, im letzten Bestandtheile %,^ aber von einander abweichen, bilden 

 vereint eine Gruppe; dabei sind dieselben möglicher Weise zugleich von einer und derselben 

 Art, oder aber sie zerfallen in mehrere Arten. 



3". Die Gebilde einer Gruppe haben einen Complex von Diametersystemen mit einander 

 gemein, und eben so gehört ein und derselbe Complex von Diametersystemen nur den Gebil- 

 den einer Gruppe an. Demnach ist die Anzahl der Gebildegruppen eben so gross, als die 

 Anzahl möglicher Complexe von Diametersystemen. Nun sind aber eben so viele Complexe 

 von Diametersystemen möglich, als sich Diametersysteme der [n — 1)'^° Ordnung unterscheiden 

 lassen. Daher zerfallen die zu einer Classe gehörigen Gebilde in eben so viele Gruppen, als 

 Diametersysteme der {ji — Ij""" Ordnung unterschieden wei"den können. 



-t. Zur Kenntniss der in einer Gruppe enthaltenen Gebildearten gelangt man dadurch, 

 dass man in der allgemeinen Gleichung der Gebildegruppe 



= 2 + 3:, + :3;, + . . . + %„ 



wo die Bestandtheile % %y . . . 2„_i bekannt sind, der Bestandtheil $„ aber unbestimmt ist. 

 diesen Theil 3:„ nach Bedeutung und Werthform bestimmt. 



Setzt man einen Gebildepunkt durch seine Coordinaten x y voraus, so ergibt sich ein 

 Werth von %^. Soll aber eine solche Bestimraungsweise von 5t„ über die in der Gruppe ent- 

 haltenen Gebildearten Aufschluss geben , so müssen bei der Wahl des vorauszusetzenden 

 Gebildepunktes verschiedene Dinge berücksichtiget werden. Weil die Bestandtheile %%^%.y . . . 

 alle mit einander homogen sind, so ist der Theil St„ nothwendig entweder ein Product aus n 

 Constanten linearen Factoreu , oder die algebraische Summe von zwei oder mehreren solchen 



Denkst Jiriften der matljem.-uaturw. CI. XIX. Bd. Abhandl. v. Niclitmitglied. WW 



