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Producten. Ob die Factoren eines solchen Prodiictes alle von einander verschieden, oder ob 

 mehrere einander gleich sind, ferner ob %„ nur aus einem Produete oder aus mehreren besteht, 

 das Alles hängt einerseits von der Beschaffenheit des Ausdrucks St -f 3^i + 3^2 + . . . + 3:„_i, 

 anderseits von der Wahl des für das Gebilde vorauszusetzenden Punktes ab. In Bezug auf 

 Gebilde der zweiten Ordnung würde man durch die Annahme eines Gebildepunktes in einem 

 bestimmten Diameter zu der Werthform von %„ gelangen. Ebenso kann man bei Gebilden 

 höherer Ordnung verfahren. Hierbei hat man aber zuerst die Ordnung des Diameters festzu- 

 setzen, der einen Punkt (oder auch mehrere Punkte) mit dem Gebilde geraein haben soll, und 

 zuo-leich die Transversalenrichtung, zu welcher der Diameter gehört. In der Regel wird man 

 einen Diameter i}„_i wählen, und zwar einen solchen, welcher zu einer asymptotischen oder 

 einer anderen ausgezeichneten Richtung gehört. 



Durch die Beschaffenheit des gewählten Diameters wird nun die Bezeichnung der Lage 

 des vorauszusetzenden Gebildepunktes bedingt: ob man den Punkt durch Coordinaten oder 

 andere Grössen, welche Coordinatenstelle versehen, angibt, oder ob man den Punkt als 

 Durchschnitt des gewählten Diameters und eines zweiten bekannten Gebildes betrachtet. 



Auf diesem Wege ergibt sich für %„ leicht eine passende Werthform , aus welcher zu 

 entnehmen ist, ob die zu einer Gruppe gehörigen Gebilde zugleich von einerlei Art sind, 

 oder aber in mehrere Arten zerfallen. 



Anmerkung. Die obige Eintheilung der zU einer Oninung gehörigen Gebilde in Classen und Gruppen bezieht sieli niclit aus- 

 schliesslich auf die Curven, sondern auf Curven und Aggregate in ihrer Eigenschaft als Gebilde, und gewährt eine unzweifel- 

 haft richtige und vollständige Grundlage füt die Specialuntersuchung der Gebilde. Auf diesem Wege erhält man, nach Classen 

 geordnet, die Curven gruppenweise, und Kugleich auch die Aggregate. Letztere treten nicht für sich auf, sondern in Verbin- 

 dung mit Curven, mit welchen sie durch einerlei Prädicate verwandt sind. Dabei lernt man auch die wesentliclisten Eigen- 

 schaften der Aggregate Icennen, zu denen man auf anderem Wege nie gelangen würde. 



II. Die Grundgesetze der Coiifigiiratioii der algebraischen Cnrven. 



§• 14. 



Die Curven als solche überhaupt. 



Es sei 



F=Q (L) 



die Coordinatengleichung eines Gebildes L der ?/" Ordnung, und dabei sei die rationale 



Function i^ nicht ein Product aus anderen rationalen Functionen. Unter dieser Voraussetzung 



ist das Gebilde L eine Curve der «"° Ordnung. Als Gebilde nimmt die Curve L an allen 



Eigenschaften der Gebilde Theil; dieselbe hat also n asymptotische Richtungen, und es 



kommen ihr auch Diameter der 1"", 2"" .... {n — 1)"" Ordnung zu. Für den zur Transversa- 



lein-iclitung ii gehörigen Diameter 0„_i der (« — ])'"" Ordnung liat man die Gleichung 



dF ^ dF , 



— cos u -j- — sin u = 



dx dy 



wenn x y die Coordinaten eines Punktes vom Diameter ö„_, sind. 



