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1. Der zur Richtung u golifirigc r)ianietor i>„_i gelie durf'h (He Curve L in cinein Punkte O. 

 In Bezuy auf (liesi-ii Punkt besteht also zwisrlicn .r und // neben der Dianietergleichung auch 

 die Gleichuno- F=^o der Curve. und wenn man aus diesen zwei Gh'ichunoen die Abscisse x 

 eliminirt, so erhäh man zwischen // und dem Winkel it eine neue Gleicliung <\i (y , u) ^ 0. 

 Iliernacli findet man, bei gegebenem Werthe von u. die Ordinate // jenes Punktes der 

 Curve L, durch welchen der zu u gcliötiLie Piamerei- i%_, geht, und bei gegebenem Werthc 

 von 1/ die Richtung u, deren zugehöriger Diameter f)„_i durcdi O geht. 



Weil die Function Funzerlegbar, also die füeichung F=o die einzige Relation zwischen 

 den Coordinaten xy eines Punktes der Curve als einee solchen ist, so ist auch die Gleichung 

 ^ (?/, «) =0 die einzige Relation zwischen den Grösgen ?/ inul u, so lange lediglich als 

 l^unkt der Curve L und des zu ti gehörigen Diameters i>„_i betra( htet wird. 



2. Man setze voraus, mit dem zur Richtung u gehörigen Diameter i}„_, gehe durch den 

 Punkt <ler Curve L zugleich auch eine Transvergale TT nach dt-r Richtung ?< , und diese 

 TZ" durchschneide die Cin-ve in den Punkten 7', P....J'„. Weil der Punkt in dem zu ii gehö- 

 riffeu Diameter f) , liei-t, so besteht zwischeu den Segmenten OF. OP, . . . die Gleichung 

 (OP, OP, .... 0/'„)<"-'' = 0. Als Punkt der Curve L ist aber einer von den Punkten 

 /"i /'.... /'„, und in Folge davon ist von den Segmenten P^ OF, .... eines = o. Nun besteht 

 die Summe (OPj ... .)'""'' aus n Producten, und jedes Segment tritt in «—1 Produeten als 

 Factor auf; es fallen also beim Verschwinden eines Segmentes zuglei(di )i — 1 Producte weg, 

 und da die Summe aller 7i Prodncte =: o ist, so verschwindet auch das n'" Product, und dem- 

 gemäss ist noch ein zweites Segment = o. Von den n Punkten P, P,.--: welche die Linie TT 

 mit der Curve L gemein hat, liesfen also zwei im Punkte O, und die Linie TT hat mit der 

 Curve L ausser nicht mehr als ?^ — 2 Punkte gemein. Weil aber (J lediglich als ein Punkt 

 der Curve L, ohne anderweitige Eigenschaft vorausgesetzt ist, so folgt, dass in Bezug auf 

 TT ein relativ zweifacher Punkt, die Linie JT daher eine Tangente der Curve L ist. Während 

 also in der Glei'diung (j; (t/, u) = o durch // die Ordinate des Punktes der Curve L angezeigt 

 wird, bezeichnet u die Richtung der zu O gehörigen Tangente TT der Curve. 



3. Mittelst der zwei Gleichungen 



o 



r = . — cos u A fiin u ^ (j 



de d;/ 



kann man von den drei Grössen xi/ii jede zwei durch die dritte darstellen. Lst u gegeben, so 

 erhält man die Coordinaten xi/ eines jeden Punktes der Curve L, dessen zugehörige Tan- 

 gente nach der Richtung u geht. Ein solcher Punkt liegt aber auch in dem zur Richtung u 

 gehörigen Diameter i>„_i, und dieser ist ein Gebilde der (» — 1)""' Ordnung. In der Curve L 

 sind daher möglicher Weise n [n — 1) solche Punkte , deren zugehörige Tangenten alle nach 

 einerlei Richtung u gehen. Die Coordinaten dieser n [n — ^1) Punkte wertlen also , wenn 

 u g-eofeben ist, mittelst der obio-en zwei Gleichungen bestinunt. Durch die Elimination 

 von X aus den genannten zwei Gleichungen erhält man daher zwischen ij und n jene 

 Gleichung '^{y, u) =^ o , mittelst welcher die Ordinaten i/ der erwähnten 7i [n — 1) Punkte 

 gefunden werden. Demnach ist die Gleichung ']; (i/, it) = o hinsichtlich // von dem 71 (;? — 1)""" 

 (jirade. 



Bei gegebenem Werthe von i/ erhält man mittelst der obigen zwei Gleichungen die 

 Abscissen x und die Richtungen u der Tangenten jener Puidcte der Curve, denen die 

 gegebene Ordinate y zukommt. Diese Punkte liegen aber mit einander in einer zur Axe der x 



