368 Anton Müller. 



parallelen Linie, und sind die Durchschnittspunkte dieser Linie und der Curve; ihre Anzahl 

 ist daher möglicher Weise = n. Es werden also, wenn y gegeben ist, die Abscissen x dieser n 

 Punkte 0. und zugleich die Richtungen u der zugeliörigen Tangenten bestimmt. Durch die 

 Elimination von x aus den angeführten zwei Gleichungen erhält man demnach zwischen y 

 und u jene Gleichung <]^ (y, u) = o, mittelst welcher die Richtungen u der zu den erwähnten 

 n Punkten gehörigen Tangenten gefunden werden. Daraus folgt, dass die Gleichung i^ (?/, u)^=o 

 für u vom «"" Grade ist. 



4. Der Gleichung i^ (y. u) = o gemäss ändert von den Grössen y und u jede mit der 

 anderen ihren Wertli. Dadurch ist angezeigt, dass die successiven Änderungen der Tangenten- 

 richtuno- « durch den Lauf der Curve bedingt werden, und dass umgekehrt der Gang der 

 Curve den successiven Änderungen der Tangenteurichtung u entspricht. Dieser Nexus zwi- 

 schen den Änderungen der Tangentenrichtung i6 und dem Gange der Curve macht es möglich, 

 die Gesetze zu entwickeln, deren die Configuration einer Curve L der n'"" Ordnung unter- 

 worfen ist. 



§• 15. 

 Die allgemeine Gleichung für die Tangentenrichtung. 



Die Gleichung der Curve L der «"" Ordnung sei 



1'^ (_1)» . [/v(" X"-' — AT' x"-'-' y + K^> X"-'-' y' — . . . (—1)"-'' JQ!, y"-'\ = 







Man ordne den Ausdruck auf der linken Seite nach den Potenzen von x, und setze zur 

 Abkürzung 



Kfhf + K^ll^y'-' + iq^2tf-' + . . . + AT" = i; 



so entspringt für L die Gleichung 



Y,x"—Y,x"-''+Y,x^'-'—. . . .=0 (L) 



Hiernach ist 



^ = « Y, x"~' — (n—l) F, X"-' + . . . . 



und wenn man zur Vereinfachung 



dy 



setzt , so wird 



_ = — F, . .x"-' + 1"., . X"-' — Y's X"-' -y . . . . 



dij 



Substituirt man diese Werthe in der Gleichung 



dF i dF . 



— cosu 4 — Sinti = U 



d£ dy 



so ergibt sich für den zur Richtung u gehörigen Diuuicter t>„_i die Gleichung 



a, x"-' — a, X"-' + a, x'-' — . . . = ü ('5,,-,) 



deren CoeÖ'icienten nach der Vorschrift 



a, — (n—s) Y, co.su — F, + , . sin u 



gebildet werden. 



