Grundgesetze der Coitfyurai/'uii der algebraischen Curvcn. 37 3 



8. In jedem Gliedo des Ausdrucks Y^^ K}p y'' -\- K^^^yy''"^ -\- . . . ist der untere 

 Index des Coefficienten mit dem Exponenten von y einerlei, dagegen ist in jedem (xliede des 

 Ausdrucks 



Y\^, = {i^\)K^,y'^-i.Kr'y'-' + . . . 



der untere Index des Coefficienten um die Einheit grösser als der Exponent von y. Wenn 

 man also indem Wertbausdrucke von üp, von welchem jedes Product aus 2n — p — 1 Factoren 

 aus der Reihe Y^, Y^ . . . , und p' Factoren aus der Eeihe F/ Yo . . . besteht, diese Fac- 

 toren durch ihre Werthe ersetzt, und dann die Eeihe VI ableitet, so werden die Coefficienten 

 jjifi) f/Ti) ^ , _ aus solchen Producten von Grössen J?f' zusammengesetzt, dass in jedem 

 Producte die Summe der unteren Indices a der Factoren um p Einheiten grösser ist als 

 der Exponent der zugehörigen Potenz von y. Demnach ist in jedem Producte des Coef- 

 ficienten U'p'' j welcher zu y" '■"-'^'>-'' gehört, die Summe der unteren Indices a der Factoren 

 ^ n (n — 1) — s-\-2}, während die oberen Indices b die Summe s ausmachen. 



9. Die Coefficienten CJ"^ f j,'^ . . . ergeben sich auch dadurch , dass man von den Pro- 

 ducten, aus welchen ü^ nach IV besteht, eines in eine Eeihe 



entwickelt; es ist dann einfach 



p 



Hiernach kann man wohl im besonderen Falle die Coefficienten C/^"' C/^'' . . . finden, 

 jedoch zur Gewinnung des eigentlichen Bildungsgesetzes reicht die vorstehende Vorschrift 

 nicht aus, es sind noch andere Subsidien in Anwendung zu bringen, und diese fehlen 

 gänzlich. Vor allem gebricht es an einer Norm , nach welcher die durch das Versetzen der 

 Indices entstehenden Producte in solche Gruppen vertheilt werden, von denen jede ihr 

 eigenes Bildungsgesetz hat, und in Folge dieses Gesetzes ein geschlossenes Ganzes ist. In 

 der Theorie der algebraischen Gleichungen des n'"" Grades hat man es bekanntlich mit 

 Aggregaten von Producten aus den Wurzeln x^ a:., . . . a:„ zu thun , welche ebenfalls durch 

 Versetzung gebildet werden; diese Aggregate sind nicht symmetrisch, sondern Bestandtheile 

 von symmetrischen Functionen der Wurzeln. In analoger Weise ist hier das Aggregat aller 

 Producte, gleichsam eine symmetrische Function, in Partialaggregate zu zerlegen; es wird 

 dadurch nicht allein ein geordneter Gang in den Operationen gesichert, sondern auch die 

 Bildung allgemeiner Formen in bestimmten Ausdrücken möglich, und dies ist ein wesent- 

 liches Erforderniss zur Gewinnung allgemeiner Bildungsgesetze. 



In Ermangelung eines allgemeinen Bildungsgesetzes der Coefficienten f/^"' ü^^'' . . . 

 mag die vollständig entwickelte Gleichung zwischen y und u für den Fall, wo L zur 3"^" 

 Ordnung gehört, einstweilen als Ersatz dienen, und hier eine Stelle finden. 



Man hat bei ??=3 nach V 



L^o . cotu^ — Ui cotiv^ -f Uo cot IC — 11.^ = 

 und nach VI 



Uo = ^?'/ + U^'>I/' + • • . . + trj^'y + u^'' 



ü, = ür>y"+ m'f+ + m'' 



i\ = üfy' -f- muf + + RP 



ü,= rr/.i- m^uf+ + 6T 



Deukschrifien der mathem.-nnturw. Cl. XIX. lid. Abhamll. v. NJchtinitgüed. Xi 



