Grundgesotze der Configuration der nlgehrnischen C (irren. 377 



ü, = 7v7' . f/;, (VII) 



Daraus, dass diesei- >S;Uz l'iir Curveu der o'"" Ordnung' i^ilt, kann uian /.war in JJezui;- 

 aut' Ciirveii von anderen Ordnungen keinen Schluss zielien. Wenn man aber für die beson- 

 deren Fälle »=-i , )i=b. . . . die Grössen U(, und üi nach IV durch Producte darstellt, 

 deren Factoren aus den Reihen Y„ Y, Y., . . . und )",' YJ . . . genommen sind, so findet 

 man, dass in jedem besonderen Falle (bei ii=-i:, ?^=:5, . . . ) zwischen U^, und C\ die 

 Relation VII besteht. Setzt man K^^^=zl^ also auch Fo=l voraus, so enthält jedes Product 

 von f/o nur Factoren aus der Reihe Y^ Y, . . . , in jedem Producte von Uj aber ist ein Glied 

 der Reihe F/ IV . . . ein Praetor, und die übrigen Factoren sind Glieder der Reihe 

 Fl' Yj . . . Es fallen aber in U^ alle Producte , von welchen F,' oder Fg' . . . ein Factor 

 ist, durch gegenseitiges Aufheben hinweg, und das Aggregat jener Producte, welche F^ 

 zu einem Factor haben, ist in jedem besonderen Falle = F,' . C/^. Nun ist Fi'=Ä'i"\ daher 

 ist der Satz VII auch bei ?i:=4 , n=5, . . . richtig. 



Mittelst des Satzes VII ergibt sich aus der Gleichung V 



üo . cotu" — U^ . cotu"-' + üo . cotif-'— . . . —0 



eine bemerkenswerthe Eigenschaft der Curven. Unter Voraussetzung eines Werthes von y 

 erhält man aus dieser Gleichung die Richtungen ii der Tangenten jener n Punkte der Curve L, 

 wovon jedem die Ordinate g zukommt. Sind nun ii^ u.^ . . . u,^ die Richtungen dieser n Tan- 

 genten , so ist nach vorstehender Gleichung 



C/|, . (co<^«l -j- GOtxu -|- . . . -f cot II,) = ?7] 



Wenn also der Satz VII bei jedem Werthe von n richtig ist, und man demnach hierin 

 ü-i=:K^°^ . U^ einführen kann, so folgt der allgemeine Satz 



cotu, -f cotu, + . . . + cotu,, =. Ä7°' (^' fll) 



Die constante Grösse Ä'f ist, wie aus §. 1 erhellet, die Summe der Cotangentpn von den 

 asymptotischen Richtungen der Curve. Durch den vorstehenden Satz VIII wird man an ein 

 Theorem erinnert, welches Maelaurin (im §. 9 des Appendix zu seiner Algebra, London 1748) 

 mito-etheilt hat. Eine Curve L der w'" Ordnung werde von einer Linie TT in n Punkten 

 Fi P2 . . . Pn durchschnitten, und durch jeden dieser Punkte werde die zugehörige Tangente 

 gezogen, es werde ferner durch einen beliebigen Punkt von TT eine zweite Linie TT 

 nach beliebiger Richtung hin gezogen, und diese begegne den erwähnten Tangenten in den 

 Punkten B^ E.^ . . . , so ist nach Maelaurin die Summe 



1 1- . . . -I = const. 



IL Nach den Angaben im Art. 9 ist von den Coefficienten TJf^ Up C/"^"^ jeder ein Product 

 von zwei Factoren, wovon der eine C/"^"', der andere aber beziehlich Kf^Ko^ Kf^ ist, so dass 

 man den Satz hat 



c/;' = ä;(°) . ?7o"" (IX) 



Eben so ist nach, den obigen Angaben 



V^" = ^w . xj^^) (X) 



p 



