378 Anton Müller. 



Diese zwei Sätze gelten nun eben so, wie der obige Satz VII, für die Curven nicht 

 allein der 3'™, sondern auch jeder höheren Ordnung, wie ohne Schwierigkeit bewiesen 

 werden kann. 



Zuerst bemerke man , dass bei der Elimination von x aus den Gleichungen 



i^= 0, und . cosu A sin . u ^ {) 



' dx ' dx 



die vorausgesetzte ünzerlegbarkeit der Function i^ nicht in Betracht kommt, sondern ledig- 

 lich die Form von F, welche in allen Fällen eine und dieselbe ist. Demgemäss gibt die 

 Gleichuno- V den Zusammenhang zwischen y und tt nicht allein, wenn L eine Curve, sondern 

 auch dann, wenn L ein Aggregat der w"° Ordnung ist: die Vorschriften, nach welchen in 

 den Reihen von üo L\ . . . die Coefficienten TJf Ul'^ . . . aus den Grössen K^^^ gebildet 

 werden, gelten für beiderlei Fälle. Lässt man also die Grössen K^^^ nach Form und Werth 

 unbestimmt , so ist es in Hinsicht der Bildungsvorschriften der erwähnten Coefficienten völlig 

 gleichgültig, ob man L als Curve oder als Aggregat der ?j*°° Ordnung betrachtet. 

 Zweitens führe man in der Gleichung V 



\ {—ly . Up . cotic'-p = 







für Up nach VI den Werth 



n{n—\) 



ü^ = I, cr;^) . ,f 



ein, so ergibt sich die Gleichung 







wo allgemein 



Qs = k (—1)" • ^7' • "^ot^"'' 







Für die Bildung von Q^ und Qj erhält man hiernach die Sätze: 



Qo = k (-1)" • ^r - cotic"-"; ft = 'i i-iy . ü-'" . cotio^'-" 



U I) 



Drittens nehme man an , es sei bei irgend einem Werthe von n auf die Coefficienten üf 

 der Reihe von Qq die Relation IX, und auf die Coefficienten C/J'' der Reihe von Q^ die Rela- 

 tion X anwendbar , so wird für eben diesen Werth von n 



Q, = ur . k (-1)" • ^^"i"' • ^-ö^«""" 1 



Q^ = C/-«« . i; (— 1)^ . Ä'f . cotu"-^' 



1 



Hiernach versehwinden in XI die Coefficienten Q^, und Q^ mit einander bei jedem Werthe von 

 u, welcher der Gleichung 



1; (— 1)^ . /vf cotu"-^ = 







genügt. Durch diese Gleichung werden aber nach §. 1 die asymptotischen Richtungen des 

 Gebildes L bestimmt; mithin verschwinden Qo und Q^, wenn u eine asymptotische Riclitung 

 von L ist. 



