Grundgesetze der Conßguration der algehraiselien Curren. 379 



Viertens iiclime man an, es sei a eine asymptotische Riclitiing- von Z/, so dass in XI bei 

 <t=a sowohl ()o=*^ =^ls (),=0 wird. Mittelst der Glcieliung XI erhält man bei einem gege- 

 benen Werthe von u die Ordinaten _?/ aller n{ii — 1) Punkte, in denen das Gebilde L von dem 

 zur Richtung u gehörigen Diameter ö„_i durchschnitten wird. Weil nun bei zt=a in XI das 

 erste und das zweite Glied wegfallen, die Gleichung also vom [« (?^ — 1) — 2]'"" Grade wird, 

 so sind die Ordinaten y für n{}i — l) — 2 von den Punkten, welche der zu ?f=a gehörige 

 Diameter {)„_, mit L gemein haben kann, bestimmbar, für die zwei übrigen Punkte aber 

 nicht; diese zwei Punkte liegen also im Unendlichen, die zugehörigen Tangenten gehen aber, 

 wie die Tangenten an den n[n — 1) — 2 anderen Punkten, nach der asymptotischen Richtung a. 

 Wenn also für irgend einen Werth ?«=/« die Sätze IX und X richtig sind , mithin in XI die 

 Coöfficienten ()g und Q^ nach der Vorschrift XII gebildet werden, so hat jedes Gebilde I. 

 der /i"" Ordnung, dem eine reelle asymptotische Richtung a zukommt, zwei endlose Zweige, 

 von denen jeder im Unendlichen eine nach a gehende Tangente hat. Diese zwei Zweige 

 können, wie bei der Parabel, Theile eines Astes sein, oder wie bei der Hyperbel, verschie- 

 denen Asten von h angehören. 



Fünftens nehme man an, ein Aggregat LI von der (/i-f-m)''" Ordnung habe unter seinen 

 Bestandtheilen eine Curve L der Ä'"" Ordnung, welcher die reelle asymptotische Richtung a 

 zukommt. Da hiernach a eine asymptotische Richtung von LI ist, so muss, wenn die Grössen 

 Ä^i"* AT' . . . Coefticienten aus der Gleichung von L sind, der Werth w^a der Gleichung 





{—ly . Lif . cotiC"-" = 



genügen, vorausgesetzt, dass w=A-f m sei. Weil ferner der Bestandtheil L des Aggregates L' 

 zwei endlose Zweige hat, wovon jedem im Unendlichen eine nach a gehende Tangente 

 zukommt, so fallen von den n\n — 1) = {h + m) {Ji-\-7n — 1) Punkten, in welchen L' von dem 

 zu u^a gehörigen Diameter {>„_, geschnitten wird, zwei ins Unendliche. In der Anwendung 

 auf das Aggregat L' kann daher die Gleichung XI bei «=a nur vom [)i{n — 1) — 2]'"' Grade 

 sein , d. h. es muss bei M=a sowohl Q^ als Q^ verschwinden. Demgemäss werden die Coeffi- 

 cienten Qo und Q^ auch bei n^h^m nach XII gebildet, und es sind daher bei diesem Werthe 

 von u die Sätze IX und X richtig. Nun sind die Sätze IX und X, also auch XII bei n — 3 

 wahr, folglieh gelten dieselben bei jedem anderen Werthe von n. 



12. Weil in der Gleichung XI die Coöfficienten Q^ und Q^, ihrem Bildungsgesetze XII 

 zufolge , mit einander verschwinden , wenn u eine asymptotische Richtung der Curve L ist, 

 so folgt, dass eine Curve L eben so viele Paare endloser Zweige hat, als derselben reelle 

 asymptotische Richtungen zukommen. Demnach hat eine Curve, deren asymptotische Rich- 

 tungen alle imaginär sind, keine endlosen Zweige; dieselbe ist entweder eine geschlossene 

 Figur, oder aus solchen Figuren als Bestandtheilen zusammengesetzt. 



§• 16. 

 Der Grundzug in der Gestalt der Curven. 



Es ist oben im §. 14 als eine Folge des Bestehens der Gleichung ^ (y, m)=0 angemerkt 

 worden, dass die successiven Änderungen der Tangentenrichtung zc durch den Lauf der 

 Curve bedingt werden, und dass umgekehrt der Gang der Curve den successiven Änderungen 



