380 Anton Müller. 



der Tangentenriclatimg u entspricht. Wenn nun im Bereiche einer Curve L oder irgend eines 

 Theiles derselben die Tangentenrichtung u sich continuirlich ändert, so geschieht dieses auf 

 eine der zwei möglichen Weisen : der Zustand der Änderung bleibt continuirlich derselbe, oder 

 es findet in demselben ein periodischer Wechsel statt. Bei den Kegelschnitten, der Ellipse, der 

 Parabel und jedem Aste der Hyperbel ändert sich u in nur einem Sinne, continuirlich zu- oder 

 abnehmend. Da nun schon die vielen und mannigfaltigen Eigenschaften , welche den Curven 

 höherer Ordnungen als Gebilden zukommen, auf eine grössere Mannigfaltigkeit in der Gestalt 

 der Curven hinweisen, so drängt sich die Frage auf: liegt es in der Natur einer Curve höherer 

 Ordnung, dass in den Änderungen der Tangentenrichtung u eine Abwechslung stattfindet? 



1. Behufs der Beantwortung der angeführten Frage nehme man an, in dem continuir- 

 lichen Stücke AB (Fig. 1) einer Curve L der ?i"° Ordnung ändere der Winkel u successive 

 seine Werthe in der Weise, dass ein eontinuirliches Wachsen stattfindet von A an bis zu 

 einem Punkte io:, sodann ein eontinuirliches Abnehmen von lo an bis zu einem Punkte ^o • 

 hierauf wieder ein stetiges Zunehmen von ?0i bis zu einem Punkte ^Cy, u. s. w. Hiernach ist 

 unter den Werthen von «(, welche zu dem Curventheile Aw gehören, jeder folgende 

 grösser als der vorhergehende, und unter den zum Curventheile low^ gehörigen Werthen 

 jeder folgende kleiner als der vorhergehende. Daraus folgt, dass der zu dem Punkte lo 

 gehörige Werth von u der grösste unter allen Werthen ist, welche u im Bereiche des Stückes 

 .lio«üj annimmt. Weil ferner der Winkel u in dem Theile toiOi von lo an bis w^ continuirlich 

 abnimmt, in dem Theile w^io., aber von w^ bis lo., stets wächst, so ist der zu lo^ gehörige 

 Werth von u der kleinste unter allen Werthen, welche dem Winkel u im Bereiche des 

 Stückes w w^ w^ zukommen. 



Weiter ergibt sich , dass im Bereiche des Stückes w-^ w.^ lo^ der zu za, geliörige Werth 

 von u der grösste ist. Überhaupt ist also mit der gemachten Voraussetzung, dass im Bereiche 

 des Curvenstücks AB der Winkel u abwechselnd zu- und abnehme, als nothwendige Folge 

 das Vorkommen solcher Punkte lo Wj^ w., . . . verbunden, deren zugehörige Werthe von u 

 Maxima oder Minima sind. 



2. Man setze jetzt voraus, in dem Stücke AB einer Curve L seien mehrere solche 

 Punkte ioiOii02 . . • vorhanden, in welchen die Tangentenrichtung ^« grösste oder kleinste 

 Werthe erhält. Kommt in einer continuirlichen Werthreihe von -ii ein Maximum vor, so gehen 

 diesem kleinere Werthe voran, und es folgen kleinere; kommt aber ein Minimum vor, so 

 gehen diesem grössere Werthe von u voraus , und es folgen auch grössere nach. Wenn also 

 der Werth von u in dem Punkte lo ein Maximum ist, so nehmen die Werthe von u in dem 

 vorausgehenden Curventheile Aio stets zu, und in dem nachfolgenden Theile lo w,^ cou- 

 tinuirlicli ab. Ist dagegen der Werth von n in dem Punkte lo ein Minimum, so nehmen die 

 Werthe von u im vorangehenden Theile Aio ab, und im folgenden Theile ww^ zu. Hieraus 

 geht hervor, dass überliau^Dt in einem Curvenstücke AB, welches solche Punkte iviOi . . . 

 enthält, deren zugehörige Werthe von u Maxima oder Minima sind, ein periodischer Wechsel 

 in den Änderungen von u stattfindet. Wenn also nachgewiesen werden kann, dass in einer 

 Curve L der «'™ Ordnung solche Punkte lo lo^ lo., . . . des Maximums oder Minimums 

 von u in Gemässheit der Natur der Curve vorkommen, so ist der wechselnde Gang in den 

 Änderungen von u als Grundzug dieser Änderungen erwiesen. 



3. Die Tangentenrichtung ii, als Function der Ordinate y des zugehörigen Punktes der 



Curve, ist ein Maximum oder Minimum, wenn — - = 0. Nun hat man die Gleichung F^ 



