Grundgesetze der Configuration der ahjvbrai.-a-hcn ('urvvii. 3Sl 



der Curve L, und die Cileichuny 



dF dF . 



COSU -\- . SOI U = U (v„-il 



d.v dl/ 



des zu II gehörigen Diameters i>„_,. Hureli Differentiation erhält man hieraus den Satz 



rf-'F d^F . ( d'-F d^F . -v de ( dF . dF ■. du 



= COSU + — — simt 4- — -COSU -\ smu] \- s/iru 4- - co.s^i] — 



und wenn man diese Gleichung mit sin u mnltiplicirt , und die Wcrtlie 



dx . dF . dF 



— . Sin u = cos Uj — . sin u = . cos u 



dy dy dx 



alsdann einführt, so entspringt die Relation 



dF du d^F „ ^ d^F . d^ F . ., ,, 



— . — = cosw + 2 cosusimi -\- . smir (V) 



dx dy dx- dx dy dy' ^ - 



Hieraus ergibt sich, dass in Bezug auf einen Punkt xy der Curve L, dessen zugehörige Tan- 

 genteni'ichtung ic ein Maximum oder Minimum sein soll, ausser den Gleichungen der Curve L 

 und des Diameters 0„_i auch folgende Relation zwischen xyic stattfinden muss: 



d-F „ ^ d'iF . , d^F . ., ,. ',. ^ 



— - . costr + 2 . . COSU . smu -\- — - . sinu' = (*„_>) 



dx^ dxdy dy- 



Diese Gleichung gibt, wenn i^von einem höheren als dem 2'™ Grade ist, den zur Richtung u 

 gehörigen Diameter 9„_2 der (n — 2)'*° Ordnung. Demnach muss der Punkt xy , dessen zuge- 

 hörige Tangentenrichtung u ein Maximum oder Minimum sein soll, ein gemeinsamer Punkt 

 der Curve L und der zu u gehörigen Diameter ö„_i und i>„_ä seni. 



Mittelst der Gleichungen der Curve L und der Diameter ö„_i und f>„_, lassen sich einer- 

 seits die Coordinaten xy jener Punkte w to^ w., . . . der Curve, in welclien u Grenzwerthe 

 annimmt, anderseits auch diese Werthe von u bestimmen. Es werden daher bei einer Curve 

 höherer Ordnung die Bedingungen erfüllt, unter denen in den Änderungen der Tangenten- 

 richtung u ein wechselnder Gang stattfindet. 



4. Für die Punkte to lo^ w., . • . , in welchen dem Laufe der Curve gemäss einWechsel 

 in den Änderungen von u, ein übergehen vom Zunehmen zum Abnehmen und umgekehrt 

 stattfindet, kann man die gebräuchliche Benennung Wendepunkte beibehalten. Dessgleichen 

 nenne man Bogen jeden Curventheil wie Aw, 1010^. . . , in dessen Bereiche die Tangenten- 

 richtung u nur in einem Sinne sich ändert. Nennt man endlich den Gang, welchen ein Cur- 

 venstück AB beim Vorhandensein von Wendepunkten nehmen muss, einen wellenför- 

 migen, so hat man den Satz: der Grundzug in der Gestalt der höheren Curven ist die 

 Well enfo rm. 



§. 17. 

 Die Bogen einer Curve und ihre Verbindung. 



Nach der obigen Feststellung wird mit dem Ausdruck Bogen jeder Curventheil 

 bezeichnet, in dessen Bereiche die Tangentenrichtung u in nur einem Sinne sich ändert. 

 Weil nun in jedem Wendepunkte w^ einer Curve der Winkel u den Zustand seiner Änderungen 

 mit einem anderen vertauscht, so ist ein Wendepunkt w^ zugleich der gemeinsame Punkt von 

 zwei auf einander folgenden Bogen der Curve. 



Denkschriften der matheIn.-natu^^Y. CI. XIX. Bd. Abhandl. v. Nichlmitglied. yy 



