382 Anton Müller. 



1. Nach dem Obigen ist ein Wendepunkt to^ vor anderen Punkten der Curve dadurch 

 auso-ezeichnet, dass durch denselben nicht allein der Diameter &„_i, welcher zu der für tü,j 

 geltenden Tangentenrichtung ic gehört, sondern auch der zu u gehörige Diameter i}„_._, geht. 

 Bezeichnet man also mit P^ P., . . . P„ die Punkte, welche die zu w^ gehörige Tangente TT 

 mit der Curve gemein hat, so fallen zwei Punkte P„_i und P„ in lo,^ zusammen, die Segmente 

 w P^_j und ?üj P„ versehwinden, und zwischen den übrigen Segmenten to^ P^, lo^ Pj, • • • ^o^ P„_2 

 besteht, weil lo^ ein Punkt des Diameters {}„_2 ist, die Gleichung 



{lo^P,, iC^P, . . . z«,P„_,)(»-^) = ü . 



Hiernach verschwindet das Product aus den n — 2 Segmenten lo^ Pi . . . ?o,^ P„_o ; daher ist 

 noch ein weiteres Segment to^ P„_3 = 0, und es fallt demnach auch der Punkt P„_c, mit lo^ 

 zusammen. Die zu einem Wendepunkte lo^ gehörige Tangente hat also in ihrem Berührungs- 

 punkte ?ü^ drei Punkte mit der Curve gemein. 



2. Man nehme an, einer Curve L komme an der Stelle eines Punktes die Beschaffen- 

 heit zu, dass die zu gehörige Tangente TT in drei Punkte mit der Curve gemein hat. 

 Werden mit P^ P, . . . P„ die Punkte bezeichnet, welche Tl mit L gemein haben kann, 

 so sind unter den von an gerechneten Segmenten OPj OP.2 . . . der Annahme zufolge 

 drei = 0, und desshalb ist auch in den Productensummen (OP^ OPo . . ■ OP„Y"''^ und 

 (OPi OP., . . . 0P„)'"~"^ jedes Product =: 0. Demgemäss ist der Punkt der Curve zugleich 

 ein gemeinsamer Punkt der zur Richtung von TP gehörigen Diameter ^„_^ und &„_2. Ist also u 

 die Richtung von TT, und sind xi/ die Coordinaten von 0, so bestehen zwischen xt/ii die 

 Gleichungen von i}„_j und i}„_o. unabhängig von der Voraussetzung besteht aber zwischen 



xi/u auch die Gleichung I im vorigen Paragraph: folglich ist -— ■ = 0, also der zu gehö- 

 rige Werth von u ein Maximum oder Minimum, mithin ein Wendepunkt der Curve. Dem- 

 nach sind die Wendepunkte einer Curve L die einzigen, in welchen die Curve mit der je 

 zugehörigen Tangente drei Punkte gemein hat. 



3. Ein Kreis wird durch drei Punkte bestimmt, die zusammen nicht in einer geraden 

 Linie liegen. Gehören die bestimmenden drei Punkte des Kreises einer Curve L an, und 

 fallen dieselben in einem einzigen Punkte der Curve zusammen, so wird der Kreis der 

 zu gehörige Krümm ungskreis der Curve, und die zu gehörige Tangente PP der 

 Curve ist zugleich Tangente des Krümmungskreises. Die zwei Punkte, welche die Tangente 

 TT in mit der Curve L gemein hat, sind offenbar zwei von jenen drei Punkten, welche 

 der Kreis und die Curve in mit einander gemein haben. Der dritte von diesen drei Punkten 

 kann aber nicht in der Tangente liegen , weil ein Kreis und eine gerade Linie nicht drei 

 Punkte mit einander gemein haben können. Aus eben diesem Grunde kann zu einem Punkte 

 der Curve, in welchem drei in gerader Linie liegende Punkte der Curve vereinigt sind, kein 

 Krümmungskreis gehören. Demnach kommt einer Curve L in jedem ihrer Wendepunkte ein 

 Krümmungskreis nicht zu: die Curve hat an den Stellen ihrer Wendepunkte keine Krümmung, 

 sondern befolgt den Gang einer geraden Linie. 



4. Es sei überhaupt ein Punkt von einer Curve L, dessen Lage durch die Coordinaten 

 xt/ bezeichnet wird, und u die zu gehörige Tangentenrichtung; ferner sei G der Mittelpunkt 

 des zu gehörigen Krümmungskreises, und die Distanz OC = k\ endlich sei 5 die Länge 

 eines Curvenstücks . das von irgend einem Punkte an bis sich erstreckt. Hiernach ist CO 



