Grundgesetze der Confguration der algebraischen Curven. 383 



der Radius des Krünimungskreisos, dagegen OC der Radius eines zweiten Kreises, dessen 

 Alittelpunkt in (>. Von diesen Kreisen ist jeder eine Wiederholung des andern. Oiirve und 

 Krüiuniungskreis haben bei ein ßogenstüek ds mit einander gemein, und diesem stellt am 

 Mittelpunkt CderT\'inkel du gegenüber. Kimmt man aLso im zweiten Kreise von C ab ein 

 Bogenstück &, so stellt diesem am Mittelpunkt ein Winkel = du gegenüber. Man hat 

 dalier den Satz k . du =: ds . AVeil nun ds . siau = dy ist , so folgt 



sinu . 



Da in einem Wendepunkte der Curve — ^ ^0 ist, so wird naeli vorstehendem Satze in 



dy 



Bezug auf einen Wendepunkt die Grösse k = oo. Hierdurdi wird der schon berührte Mangel 

 einer Krümmung der Curve an den Stellen ihrer Wendepunkte angezeigt. Für jeden anderen 

 Punkt der Curve erhält dagegen k einen endliehen Werth. Der Fall, wo smu = ist, 

 kann nicht in Betrachtung kommen, weil bei der willkürlichen Richtung der Abscissenaxe, 

 von welcher an u gerechnet wird, absolute Werthe von ^« keine Bedeutung- haben. 



o 



du 



5. Werth und Vorzeichen der Grösse k hängen von dem Ausdrucke -^ . sin n ab ; 



dl) 



desshalb ist es nicht unmöglich, dass für verschiedene Punkte der Curve die Grösse k nicht 



allein verschiedene Werthe, sondern auch verschiedene Vorzeichen (-j ) erhält. Nun wird 



kz= OC iu der Normalen des Punktes 0, von an, gerechnet, und diese Normale ändert mit 

 dem Punkte ihre Lage, zugleich aber auch ihre Richtung. l']s wird daher vor Allem eine 

 Verständigung in Betreff der Vorzeichen von k nothwendig. Man setze fest, dass der Punkt 

 seinen Ort in der Curve ändere nach eben der Richtung hin, welche für die Änderungen von 

 u angenommen ist. Die zu gehörige Normale, in welcher das Segment OC liegt, betrachte, 

 man als eine Linie, welche auf beiden Seiten von sich ins Unendliche erstreckt, und nelime 

 in derselben auf der einen Seite von einen beliebigen Punkt P, auf der anderen Seite einen 

 Punkt iVan. Während nun der Punkt in der Curve seinen Ort ändert, und mit ihm die 

 zugehörige Normale ihre Richtung und Lage verändert, bleibt fortwährend P auf der einen 

 und ^ auf der anderen Seite von 0, und man hat in jeder Lage von die entgegengesetzten 

 Theile OP und OiVder Normalen. 



Diese Unveränderlichkeit in der Reihenfolge der Punkte A'Oi' gestattet eine bestimmte 

 unzweifelhafte Voraussetzung rücksichtlich der Vorzeichen von 00. Man kann voraussetzen, 

 dass OC positiv sein soll, wenn C in den Theil OP der Normalen fällt; alsdann ist OC 

 negativ in jedem Falle, wo C in den entgegengesetzten Theil Anfällt. Man kann aber auch 

 feststellen, dass in jedem Falle, wo C in dem Theile OP liegt, OCnegativ sein soll; alsdann 

 ist OC positiv, wenn C in den Theil N Mit. 



6. Nach dem Art. 3 gibt es in einer Curve ausser den W'endepunkten keinen Punkt, in 

 welchem die Curve mit einer geraden Linie drei Punkte gemein haben könnte. Da dies nun 

 auch für den Bereich eines ßogens w ic\ (Fig. 1) gilt, so folgt, dass ein Bogen lo w^ von einer 

 geraden Linie in nicht mehr als zwei Punkten geschnitten werden kann. Demgemäss ist die 

 zu einem Punkte des Bogens lo to, gehörige Tangente TT das Grenzglied einer Reihe von 

 Linien . welche zu einander parallel sind, und von denen jede den Bogen to ic, in zwei Punkten 

 schneidet. Gegen jene Seite von oder TT hin, auf welcher diese schneidenden Linien 

 liegen, ist also der Bogen w lo^ coiicav, und auf eben dieser Seite liegt auch der Mittelpunkt 



yy* 



