38-i Anton Müller. 



C des Krümmungskreises. Nun liegt der Mittelpunkt G in der zu gehörigen Normalen, und 

 zwar entweder in dem Theile OP oder in dem entgegengesetzten ON. Fällt für irgend einen 

 Punkt des Bogens lo w^ der Mittelpunkt C in den Theil OP , so muss, weil die concave 

 Seite für den ganzen Bogen gilt, und OP immer auf einer und derselben Seite der Curve 

 bleibt, der Mittelpunkt G für jeden andern Punkt des Bogens to lo^ in dem zugehörigen 

 Theile OP der Normalen liegen. Daraus geht hervor, dass das A^'orzeichen der Grösse ^■= OG 

 in dem Bereiche des Bogens lo w^ unverändert bleibt. Weil ferner mit dem Beginn des fol- 

 genden Bogens lOj Wo die Anderungsweise des Winkels u wechselt, so tritt auch in der Seite, 

 nach welcher hin von a\ an die Curve concav ist, ein Wechsel ein: OP befindet sich auf 

 der convexen , und N auf der concaven Seite. Demnach ist das Vorzeichen von OG im 

 Bereiche des Bogens w^w« das entgegengesetzte von jenem, welches der Grösse OC im 

 Bereiche des Bozens lo lo-, zukommt. 



7. Weil für jeden der beiden Wendepunkte iv und Wj^ die Grösse 0C:=oo ist, und für 

 keinen anderen Punkt des Bogens iv to^ die Grösse OG diesen Werth erreicht, zugleich aber 

 auch das Vorzeichen von OG im Bereiche des Bogens lo w^ ein und dasselbe bleibt, so folgt, 

 dass, bei positivem Vorzeichen, die Grösse OC abnimmt, von lo an bis zu einem gewissen 

 Punkte a des Bogens, und von da an wächst entweder fort und fort bis zum Wendepunkte mj,, 

 oder aber nur bis zu einem zwischen a und lo.^ gelegenen Punkte 6, darauf wieder abnimmt 

 von b an bis zu einem Punkte c, sodann wieder wächst entweder bis tüj , oder nur bis zu 

 einem früheren Punkte c?; sodann abermals abnimmt, und in dem Wechsel von Zu- und 

 Abnehmen verharrt bis zu einem Punkte J9 , wo eine letzte steigende Werthreihe von OC 

 beginnt , die sich bis jo^ erstreckt. Betrachtet man den Wendepunkt ?f i als Punkt des Bogens 

 10 10^, in dessen Bereiche 00 positiv ist, so ist die zu w^ gehörige Grösse 0G:= -f oo; wird 

 aber Wi als Punkt des Bogens w^^c, angesehen, so ist die zugehörige Grösse 00 = — oo, 

 weil 00 im Bereiche von w^ w., negativ ist. Sind aber die zu ?ü, w., gehörigen Werthe von OG 

 negativ, und ist — cxd der zu lo^ und zu to.2 gehörige Werth , so nimmt 00 steigende Werthe 

 ,an, von ti\ bis zu einem Punkte a^, worauf dann fallende Werthe folgen, und zwar entweder 

 fortdauernd bis w.^, oder nur bis zu einem früheren Punkte ij ; mit diesem beginnt eine stei- 

 gende Werthreihe von OG, welche sich bis zu einem, diesseits w., gelegeneu Punkte c^ erstreckt. 

 Auf diese Weise wechseln das Zu- und das Abnehmen der Werthe von OG bis zu einem 

 Punkte p^, wo eine letzte fallende Werthreihe beginnt, die sich bis w., erstreckt. 



8. Wenn an dem Bogen lo w^, in dessen Bereiche OG positiv ist, die Grösse OG von w 

 an bis zu dem Punkte a abnimmt, und von da an bis b wächst, so ist der zu a gehörige 

 Werth von OG ein Minimum unter allen Werthen, welche zu dem Bogenstücke wab gehören. 

 Auf die steigenden Werthe in ab folgen aber von b an bis c wieder fallende; daher ist der zu 

 b gehörige Werth von OG ein Maximum, und der zu c gehörige Werth wieder ein Minimum. 

 Hiernach enthält also der Bogen lo lo^ eine Reihe von Punkten abc . . . p , in deren jedem 

 der zugehörige Werth von 00 ein Grenzwerth ist, in dem einen Punkte ein Maximum, im 

 nächsten ein Minimum; im dritten wieder ein Maximum u. s. w. Auch in dem folgenden 

 Bogen iD^io., kommen solche Punkte a^ &j . , . ^i vor, deren zugehörige Werthe von OG 

 abwechselnd Maxima und Minima sind. Überhaupt kommen in jedem Bogen der Curve der- 

 gleichen Punkte vor. 



Aus dem Obigen erhellet ferner, dass in jedem Bogen der Curve der erste und der letzte 

 Grenzwerth von OG gleichartig sind. Tm Bogen ^o w, ist der zu a und der zu 2'> gehörige 



