Grioidgesetze fhr Conßgnratioi) drr algchi'aischcn Cnri'en. 385 



Wortli V(in OC oiti Miiiiinuni, und im liogen h'j w., sind die zu «, und p, gehörigen Werthe 

 von OC Maxima, also ebenfalls gleichartig. Weil nun jede zwei aufeinander folgenden Grenz- 

 werthe ungleichartig sind , so folgt , dass in einem von Wendepunkten begrenzten Bogen die 

 Grenzwerthe von OC in ungerader Anzahl vorhanden sind. 



Wie übrigens in einem Bogen zwei auf einander folgende Grenzwcrthc von OC ungleich- 

 artig sind . eben so sind der letzte Grenzwerth des einen Bogens und der erste Grenzwerth 

 des nachfolgenden Bogens ungleichartig. Im Bogen w Wy ist der zu p gehörige Werth von OC 

 ein Minimum, im Bogen lo^ iv.^ aber der zu a^ gehörige Werth ein Maximum. Demnach wech- 

 seln im Bereiche der ganzen Curve die Maxima und Minima von OC überhaupt mit einander ab. 



9. Die hinsichtlich der Grösse OC entwickelten Sätze sind auf die Voraussetzung gegrün- 

 det, dass in einer Curve Wendepunkte vorhanden seien. Man kann indessen auch ohne beson- 

 dere Voraussetzung aus der Natur der Curven beweisen, dass die Grösse OC Maxima und 

 Minima annehme , und demzufolge den Zustand ihrer Änderungen periodisch mit einem 



anderen vertausche. Nach der oben e-efundenen Gleichung k = nimmt die Grösse 



sinu . 



k = OC einen Grenzwerth au in iedem Falle, in welchem der Werth des Ausdrucks ainu . — 



ein Grenzwerth ist; es wird jedoch k ein Maximum, wenn dieser Ausdruck ein Minimum ist, 

 und umgekehrt. 



Für die Bestimmung der Grenzwerthe des vorstehenden Ausdrucks erhält mau durch 

 unmittelbare Differentiation die Gleichung 



d'^u , ( du 



dy- 



a^u /■ au \' 



smu . \- cosu . [——] = 



dl/-' ' \ dy J 



Differentiirt man aber die Gleichung (I) im §.16 



dF du d-F , ^ d^F . d^F . „ 



— . — = — - cos u 4- 2 cos u sin u A — . sm u 



dx dy dx- dxdy dy- 



hinsichtlich y, wobei also x und u als Functionen von y zu betrachten sind, und führt zugleich 

 den Werth — = em, so entsprmgt eme brleichung zwischen — - und ; und wenn man 



dy sinu ' i ö ö dy-i dy ' 



aus dieser Gleichung und den zwei vorangehenden die Grössen — - und — - eliminirt, so er- 

 hält man den Satz 



dF id^F . ^ ^ dSF , . d^F • o , '^^■f • s-V 



= . cosu 4- 3 — - — cosw smu 4- S . cosu sinir A — - sinu ] 



dl- \ dx^ dx^dy dxdy- dy-> J 



-\- . Sinu . . cosu sinu A (cosu — sinu) H . sinu cosu] 



' V. dx- dxdy ^ ' dy- J 



f d^F .-, r. d'^F . , d'^F . ,A 



, . COSU' A- 2 . . cosu . Sinu -\ — . sinu']. 



\ dx-i ' dxdy ' dy- ) 



Es ist aber 



dF dF ^ , dF . ^ 



— ^ — . cos u' -\- — . sin u' 



dx dx dx 



und in Folge der Gleichung des zu u gehörigen Diameters !}„_i hat man 



„ rfF dF . 



= — . cos u' -\ . sm u cos u 



dx dy 



