386 Anton Müller. 



daher ist auch 



dF . (dF . dF >> 



— ^= simi . I — sinu ^ — . cosu\. 



dx \ dx dy ) 



Substituirt man diesen "Werth in der obigen Gleichung, so ergibt sich der Satz 



. (dF . dF -. 



ü ^ y— sin u- — -— . cos u\ (ß.) 



(d^F d3F , . , n 'PP . „ . d3F . „x 



. — — . cosu -\- 6 -—r— . COS u Sin u -\- d . cosu . sinu' -\ — . smu ] 



V !/.<;■* dx'^dy dxdy'' dip ) 



+ o . 1 — — . COSU . sinu -\ ; . [cosu- — sinu-) -\ —smu cosu] 



V dx- dxdy ^ ' dy^ ) 



fd^F „ ^ d^F . d^F . „-v 



. — — cosu -\- 1 -cosu . smu A — . smu\. 



\ dx^ ' dxdy ' dy- J 



Verbindet man hiermit die Gleichungen 



„ ^ , rf-F dF . 



± z= und — cosu A . smu = 



dx dy 



der Curve L und des zu u gehörigen Diameters d„_i, so erhält man die Coordinaten xy eines 

 jeden Punktes der Curve, dessen zugehörige Grösse k ein Maximum oder Minimum ist, 

 und zugleich die zu einem solchen Punkte gehörige Tangentenrichtung u. Es werden also 

 die Bedingungen erfüllt, unter welchen der Grösse k die Eigenschaft überhaupt zukommt, 

 dass dieselbe den Zustand ihrer Änderungen periodisch mit einem anderen vertauscht. 



10. Je grösser der Eadius eines Kreises ist, desto langsamer krümmt sich der Kreis, 

 und je kleiner der Eadius, desto stärker ist die Krümmung des Kreises. Daraus folgt, dass 

 die Krümmung einer Curve an der Stelle eines Punktes 0^ dessen zugehörige Grösse k ein 

 Maximum ist , gegen die Krümmung der umliegenden Stellen gehalten am schwächsten , an 

 der Stelle eines Punktes aber, dem ein Minimum von k zukommt, im Vergleich mit der 

 Krümmung der umliegenden Stellen am stärksten ist. 



Zur Vermeidung lästiger Umschreibungen soll ein Punkt der Curve , dessen zugehörige 

 Grösse k ein Maximum oder Minimum ist, mit 0'^ bezeichnet werden. Kommen mehrere 

 solche Punkte zugleich in Betracht, so sind dieselben mit 0'*' Of' .... zu bezeichnen. 



§. IS. 

 Anzahl der Punkte, welche ein Curvenstück mit einer geraden Linie gemein haben kann. 



Es ist im Obigen gezeigt worden, dass jeder einzelne Bogen mit einer geraden Linie 

 nicht mehr als zwei Punkte gemein haben kann. 



Wenn nun ein Curvenstück AB aus zwei oder mehreren zusammenhängenden Bogen 

 besteht, also von einer geraden Linie möglicher Weise in mehreren Punkten durchschnitten 

 werden kann, so entsteht die Frage: wie viele Punkte kann ein solches Curvenstück mit einer 

 geraden Linie gemein haben? 



1. Man nehme an, das Curvenstück AB (Fig. 2) bestehe aus zwei Bogen Ato und loBj 

 deren gemeinsamer Punkt lo ein Wendepunkt ist. Weil ^<? ein gemeinsamer Punkt ist, so hat 

 eine durch w gelegte Linie 2T mit jedem der beiden Bogen, ausser lo , nur noch einen Punkt 

 gemein; die Linie ZT schneidet also das Curvenstück yli? lediglich in drei Paukten. Geht 

 eine Linie T' T durch den Bogen Aw in zwei Punkten, von denen keiner der Wendepunkt 



