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oder drei auf einander folgende Glieder die Summe 5 ausmachen. Unter diesen Bedingungen 

 bleibt von allen Zerfällungen der Zahl 6 nur folgende als zulässig übrig: 



1 II III IV 



2 112 



Es ist aber in die Augen fallend, dass eine Linie TT, welche den Bogen I in zwei Punkten, 

 und die Bogen II und III je in einem Punkte schneidet, durch den Bogen IV in nicht mehr 

 als einem Punkte gehen kann. Demnach kann das aus vier Bogen bestehende continuirliche 

 Curveustück AB mit einer Linie TT nicht sechs oder mehr Punkte gemein haben. Dagegen 

 ist es möglich, dass von einem solchen Curvenstücke fünf Punkte in einer geraden Linie 

 liegen. Die verschiedenen Arten, auf welche fünf in gerader Linie liegende Punkte auf die 

 vier Bogen vertheilt sein können, werden durch die Zerfällungen der Zahl 5 in vier Theile 

 ano-egeben, vorausgesetzt, dass jeder Theil einer Zerfällung eine von den Zahlen 12 ist, 

 und jede Zerfällung ausgeschlossen wird, in welcher zwei aufeinander folgende Glieder die 

 Summe 4, oder drei auf einander folgende Glieder die Summe 5 ausmachen. Unter diesen 

 Bedingungen hat man folgende Zerfällungen: 



und jede dieser Zerfällungen gibt eine Vertheilungsart von fünf in gerader Linie liegenden 

 Punkten auf die vier Bogen I, II, III, IV an. 



4. Nach dem Vorangehenden ist es nicht schwer, die Überzeugung von der Richtigkeit 

 des folgenden Satzes zu erlangen: Ein continuirliches Curvenstück AB von n — 1 Bogen 

 mit n — 2 Wendepunkten kann mit einer geraden Linie nicht mehr als n Punkte gemein 

 haben. 



Zonale Bildung der Curven. 



Aus dem letzten Satze des vorigen Paragraphen folgt unmittelbar, dass in einer Curve 

 der ra'^" Ordnung, wenn dieselbe von einer geraden Linie in n Punkten durchschnitten wird, 

 und die Durchschnittspunkte in einem continuirlichen Curvenstücke liegen, dieses Curven- 

 stück nicht weniger als n — 1 Bogen mit n — 2 Wendepunkten enthalten kann. 



1. Man nehme nun an, eine Curve L der h'"" Ordnung enthalte ein Stück ^5 von n — 1 

 zusammenhängenden Bogen, welches von geraden Linien je in n Punkten durchschnitten 

 werden kann. Bei dieser Annalime ist der P'^all möglich, dass in der Curve L die n — 1 

 Bogen von AB ohne Zusammenhang mit anderen Bogen der Curve sind; aber es ist auch 

 der Fall nicht ausgeschlossen, dass die n ■ — 1 Bogen von AB zu einer grösseren Reihe 

 zusammenhängender Bogen der Curve gehören. Dieser zweite Fall soll als bestehend ange- 

 nommen werden. 



