Grundgesetze der Configuration der algchraischen Curven. 389 



Der Voraussetzung ffemäss sclmciilot eine Linie TT. welche n Punkte mit dem Curven- 

 stücke yl 7? ffemein hat. die Ciirve Ij in keinem weiteren Punkte. Wälircnd also TjP die 

 Bogen des Stückes AB durchsehneidet, liat von jenen Bogen der Curvc /., welche dem 

 ersten Bogen des Stückes AB vorangehen, oder dem letzten naclifolgcn, weder der erste, 

 noch der zweite, noch irgend ein späterer mit TT einen Punkt gemein. Dasselbe findet statt 

 bei jeder Linie, durch welche das Stück AB in n Punkten geht. Daraus ergibt sich, dass die 

 Ciirve L in den dem Stücke ^1 7? vorausgehenden Bogen, und auch in den nachfolgenden 

 Bogen nicht so, wie im Stücke AB selbst, fortgeht, dass also die Curve L in den Bogen des 

 Stückes AB einen Gang befolgt, der weder in den vorausgehenden, noch in den nachfolgen- 

 den Bogen sich wieder findet. 



Weil hiernach mit der dein Cnrvenstücke AB beigelegten Eigenschaft ein besonderer 

 Lauf der Curve verbunden ist, so folgt, dass das Stück AB mit seinen n — 1 Bogen auch 

 ein besonderer Theil der Curve ist, und in der Bogenreihe der Curve eine bestimmte Stelle 

 einninnnt. Wea'en dieser sing-ulären Beschaffenheit und Stellung' soll ein continuirliciies 

 Curvenstück AB von n — 1 Bogen, das von geraden Linien in n Punkten durchschnitten 

 werden kann, eine Zone heissen. 



2. Es bestehe die Annahme noch fort, dass die Zone AB zu einer grösseren Eeihe 

 zusammenhängender Bogen in der Curve L gehöre, so dass den Bogen von AB andere vor- 

 hergehen, und andere nachfolg-en. Demnach hat der letzte Booen der Zone AB nicht allein 

 einen Wendepunkt lo mit dem vorletzten Bogen der Zone gemein, sondern auch einen zweiten 

 Wendepunkt w' mit jenem Bogen, welcher unmittelbar auf die Zone folgt. Nun geht von den 

 Linien TT, welche die Zone AB ']& in n Punkten durchschneiden, keine durch einen Bogen, 

 welcher ausserhalb AB liegt; also geht auch keine Linie TT durch den Wendepunkt lo'. 

 Daraus ergibt sich, dass in dem von lo bis lo' sich erstreckenden Bogen für die gemeinsamen 

 Punkte dieses Bogens und der Linien TT eine Grenze besteht, über welche hinaus, gegen w' 

 hin, keiner von jenen Punkten liegen kann. Diese Grenze ist also der wirkliche Endpunkt 

 B der Zone AB', durch denselben wird der Bogen toio' in zwei Theile lo B und Bw getheilt. 

 unter denen der erste ic B von den Linien TT noch geschnitten wird, und den Schluss der 

 Zone AB bildet, der zweite Theil B w' aber ausserhalb der Zone AB liegt, und von den 

 Linien TT nicht mehr geschnitten wird. 



Der erste Bogen der Zone AB hat ebenfalls mit jedem der zwei anliegenden Bogen 

 einen Wendepunkt gemein, und zwischen diesen W^endepuidcten liegt, wie man nach dem 

 Vorangehenden schliessen darf, der wirkliche Anfangspunkt A der Zone AB. 



Dl der bestimmt abgegrenzten Zone AB befolgt nun dem Art. 1 zufolge die Curve L 

 einen besonderen Gang, der in A beginnt, und in B endigt. Für den ;iach B folgenden Theil 

 der Curve fängt in B ein neuer Lauf an, und ebenso endigt in A der Lauf, den die Curve im 

 vorausgehenden Theile genommen hat. 



3. Die Zulässigkeit der im Art. 1 gemachten Voraussetzung, dass in einer Curve L der 

 «"" Ordnung eine grössere continuirliche Bogenreihe, und in dieser ein Stück AB von n — 1 

 Bogen enthalten sei, das mit geraden Linien je n reelle Punkte gemein haben kann, ist ausser 

 allem Zweifel. Weil aber nach den obigen Nachweisuugen mit dieser Voraussetzung ein sin- 

 gulärer Gang der Curve im Bereiche des Stückes AB verbunden ist, so liegt die Frage sehr 

 nahe: ist das Vorkommen von Zonen überhaupt nur eine zufällige Erscheinung, welche statt- 

 finden, aber auch fehlen kann, oder ist nicht vielmehr mit einer continuirlichen Bogenreihe ilie 



Ucükschrirten der malliem.-ijaturw. Cl. XIX. lid. Abhaiiill. v. Nichlmilglied. ^^ 



