Grundgesetze der Confguration der (ügehraischen Curven. 391 



dem letzten Bogen, oder mir keinem von beiden einen weiteren Punkt g-omcin. I'er letzte 

 Fall wei'de angenommen. 



Tnter dieser Voraussetzuno- sind in dem Punkte P alle n Punkte vereinigt, welclic 7' 7' 

 mit der Zone ^175 gemein hat, und es ist 7' 7' zugleich eine Tangente der Zone. 



Um sich von der Zulässigkeit der gemacliten Voraussetzung zu überzeugen, bemerke 

 man, dass die aus der Gleichung 7^= der Curve L abgeleitete Segmentengleiehung 



F„ . r" + 7^,_, . ?■"-' + . . . +F, .r+ F=0 



bei ihrer Anwendung auf die, in der Transversalen TT von einem Punkte an gerechneten 

 Segmente OP^ OP, . . . lauter gleiche Wurzeln haben muss, und dass jede dieser Wurzeln gleich 

 Null ist. wenn der Punkt in dem Vereinigungspunkte P der sämmtlic'ien Punkte P^ P.,. . . P„ 

 angenommen wird. Als Bedingung aber, unter welcher jede der n Wurzeln der Segmenten- 

 gleichung verschwindet, ergibt sich, dass folgende n Gleichungen mit einander bestehen: 



7^,_, = 0, 7^,_, = 0, . . . .7^^ = 0,7^=0. 



Diese Gleichungen enthalten die Coefficienten der Curvengleichung 7^= 0. die Eich- 

 tung ti von TT, und die Coordinaten x y des Punktes P, und wenn die Grössen xyu eliminirt 

 werden, so entspringt eine Eeihe von Relationen zwischen den Coefficienten der Gleichung 

 7^ = 0. Genügen also die Coefficienten diesen Forderungen, so hat in der Curve L eine 

 Zone AB die vorausgesetzte Beschaffenheit: überdies ergeben sich mittelst der vorstehenden 

 Gleichungen die AVerthe von .r, y und u. 



Die erwähnten Eelationen zwischen den Coefficienten der Gleichung F= haben natür- 

 lich auf eine bestimmte Zone der Curve L keinen Bezug; dieselben müssen stattfinden in 

 Hinsicht jeder Zone von L, welcher die Beschaffenheit von ^17> zukommt. Desshalb müssen 

 jene Eelationen auch bestehen, wenn zwei oder mehr Zonen der Curve von der gedachten 

 Beschaffenheit sind. 



Die Coordinaten xy des Punktes P, in welchem die Linie 7^7' die Zone .17? tangirt und 

 mit derselben n Punkte gemein hat, werden, wie schon erwähnt, mittelst der Gleichungen 

 F= 0, 7^1 = . . . gefunden. Diese ßestimmungsweise von P kann begreiflicher Weise nicht 

 auf den Fall beschränkt sein , dass einer bestimmten Zone von L die erwähnte Beschaffenheit 

 zukommt. Findet man aber auf dem bezeichneten Wege die Coordinaten xy von P für jede 

 Zone, welche die Beschaffenheit von AB hat, so müssen sich für xy eben so viele Werth- 

 paare ergeben, als in der Curve L Zonen von der Beschaff'enheit der AB enthalten sind. 



Hiernach ist es auch gestattet, eine Curve L der w'*" Ordnung als bestehend voraus- 

 zusetzen, in w^elcher jede Zone die für A B angenommene Beschaffenheit hat. Man nenne die 

 Linie TT, in Bezug auf welche der Punkt P der Zone AB ein relativ ??facher Punkt ist, eine 

 Monotangente. Dieser Feststellung zufolge hat jede Zone der Curve, welcher eine Mono- 

 tangente zukommt, die Beschaffenheit der Zone AB, und es ist zulässig, das Bestehen einer 

 Curve L der «"" Ordnung vorauszusetzen, in welcher jede Zone eine Monotangente hat. 

 Setzt man also voraus, dass in einer Curve L überhaupt Zonen mit Monotangenten vor- 

 kommen, und sucht die höchste Anzahl von Monotangenten, welche die Curve L haben kann, 

 so ist damit auch die grösste Anzahl der Zonen bestimmt, aus welchen eine Curve bestehen 

 kann, mög-en die Zonen Monotangenten haben oder nicht. 



1. Ein Gebilde G der «"" Ordnung werde von drei Transversalen TT, TT', T" T" 

 durchschnitten. l)ie Linie TT gehe nach der Eichtung u, und schneide G in den Punkten 



