G rundgesetze der Conßgi(ration der algebraischen Ciirven. 393 



ilaher nach dein obigen Salze (a) 



/ p . O'P . 0"P" y 



V 0"P . O 1" .Ol'') 



Hieraus folgt, wenn )/ oino ungerade Zalil ist, dass 



O P.O'P . 0"P" 



0"P . OP . 0' P" 



wenn aber n eine o-erade Zahl ist, so folo-t. dass 



P . O'P . 0"P' 



0"P . OP . 0' P" 



entweder =r -f 1 oder = — 1. 



Dem Satze (I) zufolge liegen in einer Curve L von ungerader Ordnung die Punkte 1' 1" 1'", 

 in welchen Z von den Monotangenten TT, TT', T"T" berührt wird, in einer geraden Linie; 

 na<li dem anderen Satze aber liegen die Punkte P P' P", wenn L eine Curve von gerader 

 Ordnung ist, entweder in einer geraden Linie, oder aber in einem Kegelschnitte, welcher von 

 den Linien TT. TT'. T'T i" den Punkten P P' P" tanoirt wird. 



3, Es entsteht nun zunächst die Frage: ist es mit der Natur einer Curve L von gerader 

 Ordnung verträglich, dass die erwähnten Punkte P P P" ebenso, wie bei einer Curve von 

 ungerader Ordnung, in einer geraden Linie liegen, oder verlangt eben die Natur der Curve, 

 dass die Punkte P P' P" in einem Kegelschnitte liegen. Um über diese Fragen Aufklärung 

 zu erhalten, setze man voraus, eine Curve L von gerader Ordnung, welche von den Trans- 

 versalen TT T'T' T"T" durchschnitten wird, sei von der Beschaffenheit, dass in der Linie 

 TT von den n Punkten P, P^ . . . P„ die eine Hälfte in P^, die übrigen — Punkte aber in P^ 

 vereinigt seien: ferner dass von den n Punkten in TT die eine Hälfte in P/, die andere 

 in P,', und von den n Punkten in J"' J"' die eine Hälfte in P/', und die andere in P," ver- 

 einiöft sei. 



Unter dieser Voraussetzung hat man nach dem obigen Satze (a) die Gleichung: 



/- Q -Pi ■ -Po O'Pi • O'Pj 0"Pi' ■ 0"P-{' VL ^ . ... 



l o"Pi.o"P2 ■ op^.op^ ' o' p^' . 0' p.{' )' ' y^) 



Hieraus folgt für den Fall wo — eine ungerade Zahl, also n eine Zahl von der Form 



•i X -f 2 ist, dass 



p^ . /'a O'P'i . O'P-l 0"P^" . 0" 



= + 1 



0P{ . P{ O' P{' . 0' P4' 



und hierdurch ist ausgedrückt, dass die sechs Punkte Pj P, P,' P,' P/' P," mit einander in 

 einem Kegelschnitte liegen. 



Dies gilt für jede Curve L, welcher die vorausgesetzte Beschaffenheit zukommt, also 

 auch für eine solche Curve i, bei welcher 



in T T die Punkte Pj P, in einem Punkte P 



rj-, rp, P' P' P' 



„ T"T" ,. ,. p'\p.: ,, ,. .. p" 



sich vereinigen, so dass jeder von den Punkten P P' P' ein relativ ?2facher, also jede von den 

 Linien TT T'T T"T" eine Monotangente ist. Wenn aber die Punkte P, P, P/ P; P," P; 

 als Punkte eines Kegelschnittes inP P P" zusammen fallen, so werden die Linien TT T'T' 



