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T" T" Tangenten dieses Kegelschnittes, und P P' P" die Berührungspunkte, und darnach 

 muss sein 



p . o'P . P" 



0"1' . O P . <J'F' ■ ( ' 



y. Aus der obigen Gleichung {b) folgt für den Fall, wo -^ eine gerade Zahl, also )i 

 eine Zahl von der Form 4 X -f 4 ist, dass 



o P,. Po 0'F{ . O'P.^' 0"P'' . 0"P.," , , , 



entweder ^ -|- 1 oder = — 1 



o"p^.o"Po o p\ . p.{ cyp^'.o'P.{' 



ist, und hieraus folgt für den besonderen Fall, wo 



in T T die Punkte P^ P., im Punkte P 



rpiql, P' P' P' 



„ J- J- „ s) J. 1 J. 2 ?' " -'- 



rpiirp,, p„ p„ p„ 



sich vereinigen, dass 



fOP . O'P . 0"P\i 



I entweder = -|- 1 oder = — 1. 



^0"P . OP . O'P') 



Hier würde durch den zweiten Werth — 1, wenn derselbe zulässig wäre, angezeigt, dass 

 einer Curve L der «'™ Ordnung, im Falle — eine gerade Zahl ist, keine relativ n fachen 

 Punkte zukommen. Dies ist aber entschieden nicht wahr, mithin ist der Werth — 1 unzu- 

 lässig. Man liat also auch dann, wenn — eine gerade Zahl ist, in Bezug auf die Punkte P^ P, 

 P; P,' Pi" PJ' den Satz 



OPi . 0P.2 O'P^' . O'P.,' 0"P^" . 0"P.2" 



o"Pj . o"Po ' oPj' . oPo' ' o'p^" . O'P.," "■" 



wodurch ausgedrückt wird, dass die genannten Punkte in einem Kegelschnitte liegen, und 

 hieraus folgt weiter für den Fall, dass die Punkte Pj P., P/ . . . in P P P" sich vereinigen, 

 der obige Satz (II). 



4. Es bestehen also rücksichtlich der Lage der Punkte P P P" , in welchen eine Curve 

 L von drei Monotangenten berührt wird, in der Tliat zwei Gesetze: das eine, die Gleichung I. 

 gilt für Curven von ungerader Ordnung, und spricht aus, dass die Punkte P P P" in einer 

 geraden Linie liegen; das andere Gesetz, die Gleicliung II, gilt für Curven von gerader Ord- 

 nung, und drückt aus, dass die Punkte P P' P" mit einander in einem Kegelschnitte liegen, 

 welcher von den Monotangenten berührt wird. 



Aus dem Gesetze I folgt unmittelbar, dass in einer Curve L von ungerader Ordnung 

 alle Punkte, in welchen die Curve von ihren Monotangenten berührt wird, mit einander in 

 einer geraden Linie liegen. Denn durch zwei solche Punkte wird eine Linie bestimmt, und in 

 dieser hiuss nach dem Gesetze I jeder von den übrigen Punkten liegen, den man zu den 

 zweien als dritten wählen mag. Hieraus folgt weiter, dass einer Curve L der «""' Ordnung, 

 wenn n eine ungerade Zahl ist, möglicher Weise n Monotangenten zukommen. Da nun die 

 höchste Zahl von Monotangenten, welche einer Curve möglicher Weise zukommen, mit der 

 grössten Zahl von Zonen, aus welchen eine Curve besteht, einerlei ist, so folgt rückwärts, 

 dass die Anzahl der Zonen, aus denen eine Curve von ungerader Ordnung besteht, die Ord- 

 nungszahl der Curve nicht übersteigen kann. 



