Grundgesetze de?- Configuration der algebraischen Curven. 395 



5. Dom Gesetze TI zufolge kann man in Bezug auf Curven von gerader Ordnung den 

 Satz aussprechen, dass durch die sämmtlifhcn Punkte, in welchen eine solche Curve von 

 ihren Monotangenten berührt wird, ein Kegelschnitt geht, den die Älonotangenten berühren. 



Um von der Richtigkeit dieses Satzes sich zu überzeugen, halte man zunächst fest, dass 

 im Falle n eine gerade Zahl ist, eine Curve L der n'"" Ordnung von einer Beschaffenheit sein 

 kann, bei welcher die n Durchschnittspunkte einer Transversalen und der Curve zur Hälfte 

 in einem ersten, und zur Hälfte in einem zweiten Punkte vereinigt sind. Die Transversale, 

 welche in zwei relativ —fachen Punkten die Curve tangirt, soll der Kürze wegen eine Diplo- 



tangcnte heissen. 



Angenommen nun, dass einer Curve L drei Diplotangenten TT T T' T" T" zukommen, 

 und dass I\l\ P^' Po P^" P-i' die Berührungspunkte der genannten Linien und der Curve 

 seien, so liegen, wie oben in Art. 3 und 3" gezeigt worden ist, die sechs Punkte PiP^ Pi P2 

 Pi'PJ' in einem Kegelschnitte. Ein Kegelschnitt ist aber durch fünf seiner Punkte bestimmt. 

 Daher wird durch die Berührungspunkte P^P« P/ P./ der zwei Diplotangenten TT und T T', 

 und durch den einen Berührungspunkt P/' der dritten Diplotangente T" T", jener Kegel- 

 schnitt KK bestimmt, in welchem auch der sechste Punkt P/' liegt. Nun hat der Kegelschnitt 

 IvJv mit der Curve L, ausser den fünf Punkten Pj P^ P/ P,' P/', möglicher Weise noch 2n — 5 

 andere Punkte gemein; unter diesen ist also der Punkt PJ'. 



Zunächst ist es mit der Natur einer Curve L nicht unverträglich, wenn von den im 

 Kegelschnitte KK liegenden Punkten der Curve nicht allein die sechs Punkte Pj P^ P/ Pg' 

 Pj" P,", sondern auch die übrigen 2 n — 6 ebenfalls relativ —fache Punkte sind. Es kommen 

 nämlich alsdann der Curve 2n relativ —fache Punkte, mithin 71 Diplotangenten, also mög- 

 licherweise auch ?i Monotangenten zu, da eine Diplotangente im besonderen Falle in eine 

 Monotaugente übergehen kann. Aber es stellt sich der Satz, dass die 2n Punkte, welche der 

 Kegelschnitt /v7v' mit der Curve L gemein hat, alle mit einander relativ —fache Punkte sind, 

 nicht allein als zulässig, sondern auch als noth wendig dar. Indem der Kegelschnitt KK 

 durch die relativ —fachen Punkte P^ Po P/ Po' P/' bestimmt ist, so erhält derselbe durch 

 Beschaffenheit und Stellung eine ganz besondere Bedeutung; es können daher die Punkte, in 

 welchen KK durch die Curve L geht, weder Punkte überhaupt, noch auch verschiedenartige 

 Punkte, sondern lediglich Punkte derselben Art, d. i. relativ —fache Punkte sein. 



Jede Diplotangente ist eine Sehne des Kegelschnittes KK und geht, wenn ihre Be- 

 rührungspunkte in der Curve L zusammenfallen, in eine Tangente von KK, zugleich aber 

 auch in eine Monotangente von L über. Daher liegen die Punkte, in welchen eine Curve 

 o-erader Ordnung von ihren Monotangenten berührt wird, mit einander in einem Kegelschnitte 

 KK, und dieser wird von den Monotangenten berührt. 



6. Aus der vorangehenden Nach Weisung der Lage, welche in einer Curve von gerader 

 Orduunff jene Punkte einnehmen, in denen die Curve von ihren Monotangenten berührt wird, 

 o-eht zuo-leich hervor, dass die höchste Anzahl der Monotano-euten mit der Ordnungszahl der 

 Curve einerlei ist. Hieraus folgt nun, wie oben bei den Curven von ungerader Ordnung, dass 

 die Anzahl der Zonen, aus denen eine Curve von gerader Ordnung besteht, die Ordnungs- 

 zahl der Curve nicht übersteigen kann. 



