396 Anton Müller. 



§• -1- ■ 

 Die Wendepunkte. 



Als ein Punkt, in welchem die Tangentenrichtung u den Zustand ihrer Änderungen mit 

 einem anderen vertauscht, ist jeder Wendepunkt zugleich ein gemeinsamer Punkt von zwei 

 auf einander folgenden Bogen. Nun enthält in einer Curve L der n"'" Ordnung jede Zone 

 n — ^1 Bogen, also n — 2 Wendepunkte, und es ist n die grösste Anzahl der Zonen, aus denen 

 die Curve L bestehen kann. Demnach können in einer Curve der ?i'" Ordnung nicht mehr 

 als 7i(n — 2) Wendepunkte vorkommen. 



Eine Curve der 3""" Ordnung hat hiernach nur drei Wendepunkte. Diese Anzahl ergibt 

 sich auch durch eine andere Betrachtung. Weil nämlich die zu einem Wendepunkte gehörige 

 Tangente in dem Berührungspunkte drei Punkte mit der Curve gemein hat, so ist bei einer 

 Curve der 3'*"' Ordnung jede Wendetangente zugleich eine Monotangente. Daraus ergibt sich 

 aber, dass die Wendepunkte einer Curve 3'" Ordnung in einer geraden Linie liegen. Folglich 

 sind nicht mehr als drei Wendepunkte möglich. 



Für die Lage der Wendepunkte einer Curve L der ??'"" Ordnung ergibt sich ein Bestim- 

 mungsweg daraus, dass, wie in §. 16 bewiesen worden ist, zwischen den Coordinaten xi/ 

 eines Wendepunktes und der zu diesem Punkte gehörigen Tangentenrichtung u folgende drei 

 Gleichungen bestehen: 



F=0 (V) 



ilF dF . ,^ ,., , , 



— . COS u + — • sm u = (vn — 1) 



dx dy 



— - . COS u- -\- 2 cos u sm u -\- '■ — - . sin ir = () {m — Jj 



dx^ d.vdy dy 



Ein Wendepunkt ist hiernach ein gemeinsamer Punkt der Curve L und der /u u gehörigen 

 Diameter b„_i und i>„_2. Eliminirt man aber u aus den Gleichungen dieser l)iameter, so ent- 

 springt die Gleichung 



ff . f^f _ 2 . ^^ . ^ . i": + '^' . r^Y = iw) 



dx^ \dy) dx-dy dx dy dy- ^dx) ^ ' 



für ein Gebilde IK, in welchem die gemeinsamen Punkte je solcher zwei Diameter i>„_i und 

 }>, :, lieo-en, die zu einerlei Eiehtuno: u gehören. Demnach sind die gemeinsamen Punkte 

 dieses Gebildes TT und der Curve J. die Wendepunkte von Z. 

 L Es sei 



3;,, = 7CW X"-»-— 7vW x-"-^-'?/ + W x''-'--y- — . . . (— l)"-^7\":;i, y"" 

 und 







die Gleichung der Curve L, so erhält man nach (T^) für die Bildung der Gleichung von jenem 

 Gebilde W, m Avelcheni die Wendepunkte der Curve liegen, die Vorschrift: 



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