Grundgesetze der Configuration der algehraischen Curven. 399 



Bestandtheil von oinandiM- unterscheiden. Diese Curven IiilJen aber, nach (hn- im §. 13 ent- 

 wickelten Kintlioihini;- cK'r (iehihle eine Gruppe; miihin durchschneidet das Gebilde TFjedes 

 Glied der Gruppe in seinen Wendepunkten. 



Weil die Gleiclumgen der zu einer Gruppe geliörig-en Curven sicli nur durch den letzten 

 Bestandtheil von einander unterscheiden, so haben keine zwei Glieder der Gruppe einen 

 Punkt mit einander gemein. Demzufolge ist jeder Punkt des Gebildes W ein Wendepunkt 

 nur von einer einzigen Curve der Gruppe. 



4. Jeder Punkt des Gebildes W ist ein gemeinsamer Punkt zweier Diameter ö„_, 

 und ön^o? welche zu einerlei Transversalenriehtung t* gehören; derselbe gehört also auch zu 

 dieser Eiehtung ?<. Wenn nun durch jeden Punkt von TF je nach der Richtung, zu welcher 

 gehört, eine Transversale TT vorausgesetzt wird, so ergibt sich ein System von Trans- 

 versaleu, das sich durch besondere Eigenthümlichkeiten von anderen Systemen gerader 

 Linien unterscheidet. Eine Linie TT des erwähnten Systems ist eine Wendetangente von 

 jener Curve L der Gruppe, welche mit TT durch den Punkt von TF geht, und also in 

 einen Wendepunkt hat. Denn der Voraussetzung gemäss ist die Ricbtung von TT eben die- 

 jenige, zu welcher jene Diameter &„_i und i\_2 gehören, welche in einander schneiden: 

 demnacb ist die Richtung von TT auch die zu gehörige Tangentenrichtung jener Curve 

 Z, welche durch geht. Das Vorausgesetze System von Transversalen ist also das System 

 der Wendetangenten aller Curven der Gruppe, deren Wendepunkte in dem Gebilde IFliegen. 



5. Wenn u die Richtung ist, zu welcher der Punkt von W gehört, und xy die Coor- 

 dinaten von sind, so liat man für die Transversale TT^ welche durch nach der Richtung 

 a fj'eht, die Gleichung 



o 



6 — r^ cot u = X — y cot u 



wo ? q die Coordinaten irgend eines Punktes von TT sind. Zwischen den Coordinaten xy 

 von 0, und der Richtung it, zu welcher gehört, bestehen aber auch die Gleichungen der 

 zu IC gehörigen Diameter i)„_i und &„_2, und mittelst dieser kann man aus der vorstehenden 

 Gleichung von TT die Coordinaten xy eliminiren. Auf diesem Wege erhält man eine 

 Gleichung zwischen | — "/j cot u und u. Indem diese Gleichung, wenn u als gegeben betrachtet 

 wird, auf den Werth von ? — vj cot u schliessen lässt, ist dieselbe die Gleichung der nach der 

 Richtung u gehenden Linie TT, also des allgemeinen Gliedes des ganzen Systems der Wende- 

 tangenten. Es ist indessen zu bemerken , dass die zu einerlei Richtung ?i gehörigen Diameter 

 <\_i und i}„_2 möglicher Weise mehrere Punkte mit einander gemein haben. Da nun jeder 

 solcher Punkt zur Richtung u gehört, so sind möglicher Weise in dem Systeme der Wende- 

 tangenten mehrere Glieder TT, welche nach der Richtung ?< gehen. Die Lage dieser Linien 

 ergibt sich aus der erwähnten Gleichung zwischen ? — ti cot u und ti, indem man hieraus für 

 $ — Yj cot u so viele Werthe erhalten muss, als es Linien TT gibt, die nach der Richtung u 

 gehen. Die zwischen ? — tj cot u und tc stattfindende Gleichung lässt auch erkennen, ob die 

 Wendetangenten des ganzen Systems mit einander durch einen Punkt gehen , oder aber ein 

 Gebilde Q tangiren, und es lässt sich im ersten Falle der gemeinsame Punkt bestimmen, im 

 zweiten Falle aber die Gleichung des einhüllenden Gebildes Q ableiten. 



6. Es sei L eine Curve aus der Gruppe, für welche das Gebilde W gilt; ferner sei 

 ein Punkt in W, der nicht zugleich in L liegt, und TT eine Transversale, welche durch 

 nach jener Richtung u geht, zu welcher gehört. Die Linie TT ist hiernach nicht Wende- 



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