400 Anton Müller. 



tangente von Z; dieselbe schneidet aber diese Curve möglicher Weise, und wenn man mit 

 I\ P^ . . . P„ die Durchschuittspunkte bezeichnet, so bestehen zwischen den Segmenten 

 OPi OP2 ■ ■ ■ folgende zwei Gleichungen: 



{OP, OP, . . . OP,:f-'^= , {OP, OP,. . . OP„f'-'^= ; 



denn es gehen durch die zwei zur Richtung von TT gehörigen Diameter i>„_j und &„_o, 

 und diese Diameter sind zugleich allen Curven der Gruppe gemeinschaftlich. Weil nicht 

 in L liegt, so ist von den Segmenten OP^ 0P„ . . . keines = 0, und es verschwindet daher in 

 den vorstehenden Gleichungen kein Product. 



Nimmt man von der ersten Gleichung das Quadrat, so entsteht der Satz 



(O/VOP3'. . .0P:f-'^+2{0P,0P,. . . OP„f'-'KOP,.OP, . . .OP„ = 



und wenn man hiermit die zweite von den obigen Gleichungen verbindet, so folgt 



(OP,' OP,' . . . OP„^)f"-''= 0. 



Aus dem Bestehen dieser Gleichung aber folgt, dass von den Segmenten OP, OP, . . . 

 wenigstens zwei imaginär sind. Dies gilt für jede Linie TT des Systems der Wendetangenten, 

 welche nicht Wendetangente der Curve L ist. Demnach wird die Curve L von jeder der 

 genannten Linien höchstens in n — 2 reellen Punkten geschnitten. 



7. Li dem Gebilde W nehmen die Wendepunkte einer bestimmten Curve L aus der 

 Gruppe, zu welcher TF gehört, auch bestimmte Stellen ein; dieselben müssen sich daher auch 

 auffinden lassen, ohne dass die Curve L zu Hilfe genommen oder als bekannt vorausgesetzt 

 wird. Für Curven der 3'"' Ordnung wird das Gebilde W von der 5'^° Ordnung, die Wende- 

 ])unkte einer einzelnen Curve 3""° Ordnung liegen aber in einer geraden Linie,- dieselben sind 

 daher die gemeinsamen Punkte dieser Linie und des Gebildes W. Auf analoge Weise sind die 

 Wendepunkte einer Curve L der n'™ Ordnung die gemeinsamen Punkte des zugehörigen 

 Gebildes TF, und eines zweiten Gebildes W^. In Bezug auf dieses Gebilde W* ist dadurch, 

 dass einer Curve L möglicher Weise ti (n — 2) Wendepunkte zukommen, die Andeutung 

 gegeben, dass die Ordnungszahl von IT^* nicht kleiner als n — 2 sein kann. Ferner ist für 

 Curven der 3'"° Ordnung die Grenzzahl n — 2 = 3- — 2:= 1 zugleich die Ordnungszahl von 

 TF*. Es liegt daher die Vermuthung ganz nahe, dass allgemein das Gebilde TF* von der 

 (n— 2)'*° Ordnung sei. Weil das Gebilde TF* die gemeinsamen Punkte der Curve L und des 

 Gebildes TF enthält, so muss die Gleichung von TF* vermittelst der Gleichungen von L und 

 TF ableitbar sein. Dies ist ganz unzweifelhaft. Allein es entsteht die Frage: kann man durch 

 Verbindung der Gleichungen von L und TF unmittelbar die Gleichung von TT'"*, oder aber 

 nur ein Resultat ableiten, welches als Gleichung das Aggregat von mehreren Gebilden angibt? 



Wenn man den Werth einer Grösse g aus irgend welchen Daten zu bestimmen hat, und 

 dabei auf eine Gleichung höheren Grades verwiesen wird, während der Gegenstand A, auf 

 welchen die Grösse g Bezug hat, nur einen Werth von g zulässt, so sind die verschiedenen 

 Wurzeln g g g" . . . der Gleichung als zu eben so vielen verschiedenen Gegenständen A Ä 

 A" . . . gehörig zu betrachten. Analog kann es sich mit der Gleichung des Gebildes TF" ver- 

 halten. Die Coefficienten dieser Gleichung hängen möglicher Weise mit den Coefficienten der 

 Gleichungen anderer Gebilde W* W.f ... in so enger Weise zusammen, dass man nur durch 

 Zerlegung: einer Gleichuno- von höherem Grade zu den Gleichuno-en der Gebilde TF* TF,* 

 IF2* . . . gelangen kann. Und wie in dem obigen Beispiele die Wurzeln g g' g" . . . zu 



