Grundgesetze der Configuration der algebraischen Curven. 401 



verschiedenen Gegenständen .1.1' .1" . . . gehören, eben so gehören, im Falle ihres Vor- 

 handenseins, die Gebilde TF* ir,* I['.* . . . zu verschiedenen Curven L L^ L, . . . , in der 

 Weise, dass 



in IT'"' die Wendepunkte von L 



n '' i n ri T) ■'-'1 



liegen. 



Weil ein Zusammenhang der erwähnten Art zwischen mehreren Gebilden W* TFj* W*. . . 

 niclit denicbar ist, ohne dass die zugehörigen Curven L L^ L, . . . im engsten Verbände 

 stehen, also umgekehrt bei einem intimen Nexus der Curven L L^ . . . nothwendig auch die 

 zugehörigen (^ebilde TF* W/" . . . enge verbunden sind, so ergibt sich auf die oben gestellte 

 Frage die einfaclie Antwort: dass es von dem Zusammenhange einer Curve L mit anderen 

 Curven L^ L, . . . abhängt, ob die Verbindung der Gleichungen von L und 11^ unmittelbar zu 

 der Gleichung von TK*, oder aber zur Gleichung des Aggregates mehrerer Gebilde TF* 

 IT7 . • . führt. 



8. Zur Erläuterung des A^orangehenden werde folgende Aufgabe gelöst: die Wende- 

 punkte der Curve L der 3'" Ordnung zu bestimmen, welche durch die Gleichung 



() = {xsina — y cosaf .{xsin^) — ycos^ — p[{xsin^ — ycos^ + m)''- — ¥] (L) 



angegeben wird. Für das Gebilde W^ in welchem die Wendepunkte dieser Curve liegen, 

 erhält man nach der allgemeinen Vorschrift 



d'iF rdF^i ^ d'-F dF dF d-^F fdF^^ , 



dx- ^dyJ ' dx.dy d.i- ' dy dy'^ ' \ dx ) 



die Gleichung 



(xstn^ — y cosß).[3 (xsm a — y cosaY — Apm (xsina — ycos a)' — Ap^ (x sin^ — y cos ^ -\- m)-] = 0. 



Hiernach ist TT' das Aggregat einer geraden Linie 



X sin ß — y cos ß ^ (-B-ß) 



und einer Curve 4""' Ordnuno- 



3 [x sin Ol. — y cos a) * — • ip m {x sin ex — y cos a)^ — 4 p- (x sin ß — y cos ß -j- m)" := ü ( W^) 



Ihrer Gleichung zufolge wird aber die Curve L von der Linie BB gar nicht geschnitten, 

 folglich liegen die Wendepunkte von L in der Curve TFj. Eliminirt man aber aus den 

 Gleichungen von L und TT'i die Grösse x sin a — y cos a, so entspringt für den Ort der Wende- 

 punkte von L die Gleichung 



0=:(xsin^ — ?/cosß)* -f 6 (/r — m-)(xsiti[i — ycos'^f') 

 -f 8??i (/r — vi-) {x sin ß —^ co5 ß) — 3 (7r — nrf \ ^ ' 



Weil der Ausdruck x sin ß — y cos ß den senkrechten Abstand des Punktes xy von der 

 Linie BB, also auch den Abstand einer zu BB parallelen Linie B B' von BB anzeigt, so 

 gibt die vorstehende Gleichung (TF*) das Aggregat von mehreren zu BB parallelen Linien 

 B'B' B"B" . . . an. Von den für x sin ß — y cos ß sich ergebenden vier Werthen sind jedoch, 



