402 Anton Müller. 



wie eine nähere Untersiicliung zeigt, nur zwei reell; demnach werden durch die Gleichung 

 {W*) zwei reelle Linien B'B' und B" B" bestimmt. In dem Aggregate dieser zwei Linien 

 lieo-en also die Wendepunkte der Curve L. 



Nach ihrer Gleichung wird aber die Curve L von einer zu BB parallelen Linie, in 

 Bezug auf welche also die Grösse x sin ß — y cos ß einen bestimmten Werth hat, in zwei 

 Punkten geschnitten, denen gleichgrosse aber entgegengesetzte Distanzen von der Linie 



X sin a — y cos a = (AA) 



zukommen. Demnach hat jede unter den Linien B'B' und B" B", von welcher die Curve L 

 geschnitten wird, zwei Punkte mit der Curve gemein. Jeder solcher Punkt ist aber ein 

 Wendepunkt, und eine Curve 3'" Ordnung kann nicht mehr als drei Wendepunkte haben: 

 folglich schneidet nur eine von den Linien B' B' und B'B" die Curve L, und die zwei Durch- 

 Schnittspunkte sind die gesuchten Wendepunkte von L. 



Die zweite von den Linien B'B' und B" B", von welcher die Curve L nicht geschnitten 

 wird, hat natürlich auch eine Bedeutung, und steht in irgend einer Beziehung zur Curve L. 

 Um aber darüber ins Klare zu kommen, muss man auf die Bedeutung des Aggregates von 

 B'B' und B" B", insofern dasselbe durch die Gleichung (TF*) bestimmt wird, zurückgehen. 



Die Gleichung der Curve L enthält ausser a und ß noch die drei Constanten 2^ m Ir. Von 

 diesen kommen in der Gleichung (TL*) nur m und /r vor, und ^j fehlt. Daraus folgt nun 

 unmittelbar, dass in dem Aggregate der Linien B'B und B" B" die Wendepunkte nicht etwa 

 einer einzigen Curve, sondern aller derjenigen Curven liegen, deren Gleichungen sich da- 

 durch aus [L) ergeben, dass man für p alle Wertlie einführt. 



Bei^ = o gibt (L) ein x\ggregat, bei jedem anderen Werthe von p aber eine Curve an. 

 Diese Curven zerfallen in zwei Systeme, indem die zu positiven Werthen von p gehörigen 

 Curven verschieden sind von jenen, in Bezug auf v/ eiche ^ negativ ist. Diese Verschiedenheit 

 tritt schon bei den zugehörigen Diametern &,, hervor: das System dieser Diameter ist bei 

 positivem p ein ganz anderes als bei negativem p. 



Man betrachte in der Gleichung [L] die Grösse j? als positiv, so dass L eine Curve des 

 einen Systems ist, und führe nun — p statt jp ein, so entspringt die Gleichung 



= (xsina — y cos af . (x sin ^ — //eo^ß) + p)[{xsin^ — ycos'^ -\- m)' — //-] (Zj) 



einer Curve L^ des zweiten Systems. 



Die Wendepunkte dieser Curve L^ liegen nach dem Obigen ebenfalls in dem Aggregate 

 der Linien B'B' und B'B". Setzt man aber für die Grösse xsin^ — y cos ß in den Gleichungen 

 von L und L^ einerlei Werth voraus, so ergibt sich für {x sin a — y cos af aus der einen 

 Gleichung ein positiver, aus der anderen dagegen ein negativer Werth. Daraus folgt, dass 

 jede zu BB parallele Linie den Complex der Curven L und L^ in zwei Punkten, dabei aber 

 nur eine der beiden Curven schneidet. Dies gilt auch von den Linien B'B und B'B". Es 

 kann aber weder L noch L^ von B'B und zugleich auch von B'B" geschnitten werden, weil 

 vier Wendepunkte in einer Curve nicht vorkommen. Demnach geht die eine Linie BB' 

 durch die Wendepunkte der Curve L, und die andere B'B" durch die Wendepunkte der 

 Curve L,. 



