Grundgesetze der Confgurotion tley algebraischen Curven. 403 



§. 22. 



Die Punkte der stärksten und der schwächsten Krümmung. 



In oiner Curvc L der «''" Ünlnung sei 0'''^ ein Punkt, dessen zug-eliüriger Krüinmiii}gs- 

 radius ein Maxinunn oder Minimum ist, so bestellen nach §.17 zwischen den Coordinaten xy 

 von O**' und der zu diesem Punkte gehörigen Tangentenrichtung u folgende drei Gleichungen: 



= F (S) 



dl- dF 



^ — cos u -\- — . sni II 



dx dl/ 



(»«-0 



U ^ I — Sin u cos u ) I -— - cos u 4- 6 — ; — cos u-stn u4- 6 cos 'u sin w A sm iir \ im 



Va.1.- dij ) \dx-^ dx- .dy d.c.dy- dy'^ ) ^ ' 



+ «> I T^ r-.l (^osu sin ti-\- - — r U^^-s «' — ^^'^ « ) \~t cos u- 4-2 cos u sm u -\ sin u-\ 



VXdy dx-f d.f.dy ^ ^i \dx' dx.dy dif- J 



Hiernach ist 0**' ein gemeinsamer Punkt der Curve L, des zur Richtung ii gehörigen Dia- 

 meters i}„_i und eines Gebildes Ä, das ebenfalls von u abhängt. Eliminirt man u aus den 

 Gleichungen der Gebilde ö„_i und Ä, so entspringt die Gleichung 



= rf-V 4 f— r'i [— ~ f-f 4- 3 ''''' (-Y - — 3 -^ - r-V-k — r-f i m\ 



iKdx) "■ \dy) il dxi ydy) "^ rf..;3.rfy \dyJ dx dx.dy^ dy \dx) "^ dy^ \dx) \ ^ > 



I Trd'^F d22^^ dF dF ÖT-F f(dF.ß C^^f^l ['^'''^ C^^Y <o '^"^ ''^ '^^ '^'^ ('^^Y^ 



~"~ Wdx^ dyi) dx dy "^ dx.dy \\ dy ) \ dx ) ) \ Vdx- ^ dy ) " dx.dy dy dx "'" ll^ \iu) \ 



für ein Gebilde 33, in welchem die gemeinsamen Punkte je solcher zwei Gebilde &„_i und ^ 

 liegen, die zu einerlei Richtung u gehören. Demnach sind die gemeinsamen Punkte dieses 

 Gebildes 58 und der Curve L die Punkte O**' der stärksten und der schwächsten Krümmung 

 von L. 



1. Die Gleichung von S enthält ihrer Entstehungsweise zufolge aus der Gleichung 



F= %,— %, + %,- . . . (—1)" . %„ = 



der Curve L die Coefficienten der ßestandtheile %q%i . . . $„_i; es fehlt aber der letzte Be- 

 standtheil 3;„. Daraus folgt, dass in dem Gebilde 33 die Punkte 0^''^ aller jener Curven L 

 liegen, deren Gleichungen die Coefficienten der ßestandtheile Sto Si . . . %„-i mit einander 

 gemein haben, und sich nur durch den letzten Bestandtheil von einander unterscheiden. 

 Diese Curven gehören aber zu einer Grupj)e, mithin geht das Gebilde S durch jedes Glied 

 der Gruppe in seinen Punkten der stärksten und der schwächsten Krümmung. 



Weil von den zu einer Gruppe gehörigen Curven L keine zwei einen Punkt mit einander 

 gemein haben, so ist jeder Punkt des Gebildes S ein Punkt 0'*' nur von einer einzigen Curve 

 der Gruppe. 



2. In dem Gebilde SQ gehört jeder Punkt 0'*' zu eben der Richtung u, zu welcher die 

 Gebilde i)„_i und 51 gehören, welche in 0"^ einander schneiden. Setzt man also durch jeden 

 Punkt 0"''^ von 33 nach der Richtung u^ zu welcher 0*''' gehört, eine Transversale 2'T voraus, 

 so ist diese die zu 0'*' gehörige Tangente jener Curve L, welche durch 0**' geht. Die zu den 

 Punkten Cß'''^ der Curven einer Gruppe gehörigen Tangenten bilden daher ein singuläres 

 System, in analoger Weise Avie die Wendetangenten der Curven einer Gruppe. 



3. Die Punkte 0^*^, in welchen das Gebilde 33 von einer Curve L der Gruppe durch- 

 schnitten wird, liegen, wie die Wendepunkte, zugleich in einem dritten Gebilde Si*, das die 



