404 Anton Müller. 



Punkte 0^*' von anderen Curven der Gruppe nicht enthält. Die Gleichung dieses Gebildes 

 33* wird durch die Gleichungen von 58 und S bestimmt. Es entsteht aber auch hier, wie 

 oben bei den Wendepunkten die Frage: kann man durch Verbindung der Gleichungen von 

 'i und S unmittelbar die Gleichung von ö*, oder aber nur ein Resultat ableiten, welches als 

 Gleichung das Aggregat von mehreren Gebilden 23* 23i* . . . angibt? 



Um auf diese Frage die richtige Antwort geben zu können, muss man in Bezug auf alle 

 Gebilde der Classe, zu welcher die Curve S gehört, die möglichen Systeme der Diameter 

 öj &., . . . &„_! genau und vollständig untersuclien , und nach den erhaltenen Resultaten die 

 Gruppen feststellen, in welche die sämmtlichen Gebilde zerfallen. Eine Gruppe besteht aber 

 nicht abgeschlossen für sich, sondern hängt mit anderen Gruppen zusammen. Nach der Fest- 

 stellung der Gruppen ist also noch eine Vertheilung derselben in xVbtheilungen möglich, und 

 dann erst, wenn diese ausgeführt ist, kann man mit Aussicht auf Erfolg die Beantwortung 

 der obigen Frage unternehmen. 



§.23. 



Die Hauptformen der Curven. 



Man nehme an, eine Curve L der «'^° Ordnung sei contiuuirlich, und enthalte n Zonen. 

 Dieser Annahme zufolge hat die Curve L, wenn n eine gerade Zahl ist, nur imaginäre asymp- 

 totische Richtungen, im Falle aber n ungerade ist, eine reelle und n — 1 imaginäre asympto- 

 tische Richtungen. Da nämlich die Anzahl der imaginären asymptotischen Richtungen eine 

 gerade ist, so müssten bei einem geraden «, wenn nicht alle asymptotischen Richtungen ima- 

 ginär wären, wenigstens zwei reell sein, bei einem ungeraden n aber, wenn mehr als eine 

 reelle asymptotische Richtung vorkämen, deren wenigstens drei sein. Nun ist in §. 15 gezeigt 

 worden, dass zu jeder reellen asymptotischen Richtung zwei unendliche Zweige gehören: 

 demgemäss müsste L in dem einen wie in dem anderen Falle aus mehrei-en getrennten Asten 

 bestehen, mithin discontinuirlich sein. Dies wäre aber gegen die Voraussetzung. Die Curve 

 L hat also, wenn n ungerade ist, nur zwei unendliche Zweige, und besteht lediglich aus einem 

 Aste. Ist aber n eine gerade Zahl, so ist die Curve L ohne unendliche Zweige, mitliin eine 

 geschlossene Figur. 



1. In einer Curve der n^^"^ Ordnung besteht jede Zone aus n- — 1 Bogen. Es sind aber in 

 Bezug auf den Zustand der Änderungen der Tangentenrichtung u jede zwei auf einander 

 folgende Bogen ungleichartig, mithin unter drei auf einander folgenden Bogen der erste und 

 der dritte gleichartig. Wenn die Tangentenrichtung u im ersten Bogen wächst, so nimmt sie 

 im zweiten ab, im dritten aber wieder zu. Demnach sind in einer Zone von n — 1 Bogen der 

 erste und der letzte Bogen bei einem geraden n gleichartig, bei einem ungeraden n aber 

 ungleichartig. 



2. In zwei auf einander folgenden Zonen einer Curve sind der letzte Bogen der vorher- 

 gehenden und der erste Bogen der nachfolgenden Zone nur Theile eines einzigen Bogens. 

 Daraus ergibt sich , dass durch den letzten Bogen einer Zone die Region, nach welcher hin 

 die Curve in der folgenden Zone geht, und ebenso durcli den ersten Bogen die Region für 

 die Erstreckung der Cuiwe in der vorhergehenden Zone angezeigt wird. 



Weil nun in einer Curve von ungerader Ordnung der erste und der letzte Bogen einer 

 Zone ungleichartig, also entgegengesetzt sind, so liegen unter drei auf einander folgenden 



