Grundgesetze der Configuration der algebraischen Gurren. 40,") 



Zonen tlic erste und ilie dritte aiil" entgegengesetzten Seiten der zweiten Zone. In f\t.'v ( 'iirve 

 ABCDEF (Fig. 5) der fünften Ordnung geht die Zone JIA iuil' i\cv einen Seite, und (7) iiuf 

 der anderen Seite der Zone BC fort, eben so CB auf der einen Seite von ('!>. und /lA' auf 

 der anderen Seite u. s. w. 



Weil ferner in einer Cnrve von gerader Ordnung der erste und der letzte Bogen einer 

 Zone ffleiebartiff sind, so lieiien unter drei auf einander folo-enden Zonen die erste und die 

 dritte mit einander auf einer Seite der zweiten Zone. 



In der Curve ABCD (Fig. 4) der vierten Ordnung sind die Zonen AI) und 7>C aui' einer 

 Seite der Zone AB, eben so BA und CD auf einer Seite von BG u. s. w. I)as Gleiche wieder- 

 holt sieh in der Curve ABGDEF (Fig. 6) der sechsten Ordnung. 



§• 24. 

 Allgemeine Bemerkungen über die Gesetze der Configuration und deren Ableitung. 



Es kann bei einiger Aufmerksamkeit die grosse Übereinstimmung nicht entgehen, welche 

 zwischen der Nach Weisung dfer Wellenform, tnul zwischen der Deduction der wechselnden 

 Kriimmunff der Curven besteht. In dem einen wie in dem anderen Falle geht man von einer 

 Gleichung 



r = cpfp) 



zwischen- zwei veränderlichen Grössen r und p aus, welche auf einen Punkt der Curve 

 Bezug haben, von denen aber höchstens die eine p eine Coordinate von ist. Sodann wird 

 in Erwägung gezogen, dass in Eücksicht der Änderungen, welche die Grösse r bei successiven 

 Änderungen von p erfährt, entweder durchaus einerlei Zustand (Zunahme oder Abnahme) 

 besteht, oder aber ein Wechsel dieses Zustandes vorkommt; dass ferner, wenn in irgend 

 einem Punkte der Curve ein Wechsel in dem Zustande der Änderungen eintritt, die zuge- 

 hörigen Werthe von r und p der Gleichung — = genügen, also r ein Maximum oder Mini- 

 mum ist. Schliesslich wird in jedem der behandelten Fälle nachgewiesen, dass nach der 

 Natur der Curven die Grösse r Maxima oder Minima annehmen kann, und daraus auf einen 

 periodischen Wechsel in dem Zustande der Änderungen von r geschlossen. 



Die an das Bestehen der Gleichung r = cp(p) geknüjjften Erwägungen und Schlüsse sind 

 nun offenbar so allo-emeiner Art, dass ihre Anwendbarkeit auf besondere Fälle der erwähnten 

 Gleichung nicht beschränkt sein kann. So oft also in Beziehung auf eine Curve eine solche 

 Gleichung vorausgesetzt oder abgeleitet werden kann, nach welcher die Grösse r Maxima 

 oder Minima annimmt, eben so oft ergibt sich ein auf die Configuration bezügliches Gesetz. 



Sieht man auf die Bestimmungsweisen der Wendepunkte und der Punkte der stärksten 

 und schwächsten Krümmung, so bietet sich ebenfalls eine Übereinstimmung dar. In dem 

 einen wie in dem anderen Falle ist das Vorkommen der fraglichen Punkte in der Curve an 

 die Bedingung geknüpft, dass zwei zu einerlei Richtung u gehörige Gebilde (&„_i und i)„_.,, 

 oder i>„_i und £j einander schneiden, und dass einer der Durchschnittspunkte in die Curve 

 falle. Indem man ferner die Grösse u aus den Gleichungen der gedachten Gebilde eliminirt, 

 erhält man die Gleichung eines Gebildes (IT oder 95), welches die Curve im ersten Falle in 

 den Wendepunkten, im anderen Falle in den Punkten der stärksten und schwächsten Krüm- 

 mung schneidet. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XIX. IJti. Abliandl. v, Kichtmit^-licd. bbb 



