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Dass nun aber hierunter auch der Fall begriffen ist, wenn die durch die Punkte {fgli) und (fifft/ii) 

 gelegte Ebene durch den Anfang der Coordinaten geht, fällt auf der Stelle in die Augen, weil in diesem 

 Falle sin lo ^ 0, cos ca = + 1 ist, also die Gleichung 



A.r + B>/ + Cz + D = 0, 



wo A, B, C, D die obigen Werthe haben, offenbar mit der Gleichung 



zusammenfällt, oder wenigstens sogleich in dieselbe übergeht, wenn man die Zeichen aller Glieder mit den 



entgegengesetzten vertauscht, was natürlich verstattet ist. 



Um nun aber alle Ebenen zu erhalten, welche sich durch die gerade Linie legen lassen, die durch 



die Punkte (fgh^ und (/l^iÄ,) der Lage nach bestimmt wird, braucht man in den Formeln 18) den Winkel 



(o nicht grösser als 180° werden zu lassen. Denn wenn man in diesen Formeln 180° + lo für u> setzt, 



so erhält man: 



A =: — U sin (1) + (^Äi — fiffi) E cos to, 



B ^ — V sin u> + {l)fi — fh^ E cos (u, 



C ^ — Wsin u) + (/'^, — (//"i) E cos to, 



i) = — P sin (u ; 



was, da man A,B,C,D offenbar sämmtlich mit — 1 multipliciren kann, wieder dieselbe Ebene giebt, welche 



A= U sin (o ± (//Ä, — ////,) E cos w, 

 B=V sin m + {hf^ — fh,) E cos (o, 

 C = Wsin (u + {fgi — gf^ E cos w , 

 D = P sin 0) 



gaben. Setzt man aber ferner in den Ausdrücken 



A^= U sin CO + (g/ii — /(</,) E cos co , 

 B ^= V sin tu + (/'/i — f^i) E cos w , 

 C = W sin ui -j- {fgi — gfi) E cos w 

 D ^ P sin (ü 



180° — (1) für u>, so erhält man: 



A^= U sin o) — (gf'i — fig[) E cos w . 

 B ^ V sin 10 — (///; — /7(i) E cos (ü, 

 C ^ W sin to — (fg, — g fi) E cos m , 

 D= P sin u). 



Hieraus erhellet nun vollständig, dass es, um alle Ebenen zu erhalten, welche sich durch die Punkte 

 (/■///;) und (/"i^iÄi), oder durch die durch diese Punkte der Lage nach bestimmte gerade Linie legen lassen, 

 völlig hinreicht, in den Formen 18) blos die oberen Zeichen zu nehmen und (o von bis 180° wachsen zu 

 lassen, oder diesen Winkel zwischen und 180° zu nehmen. Wir wollen daher von jetzt an immer setzen: 



A = U sin (o + (g/ii — fig,) E cos w, 



ß = r sin 10 -f- (/'/i — Z^^'i) E cos ui, 



^^^ ^ C ■-=[¥ sin (o + (fgi — gfi)E cos u> , 



D = P sin ü> 



und o) stets zwischen und 180° nehmen. 



