142 «/. A. Grunert. 



Um nun diesen Fall auf den in I. betrachteten Fall zurückzuführen, wollen wir in der durch die 

 Gleichungen 21) charakterisirten geraden Linie einen beliebigen Punkt (/i^iÄi) annehmen, wo dann nach 

 den in Rede stehenden Gleichungen 



cos X i'OS (X cos V 



ist. Weil aber/", ganz beliebig ist, so ist es gestattet, 



/", =/' — cos \ 

 zu setzen. Dann erhält man aus den obigen Gleichungen überhaupt: 



/",=/■ — cosX, oder f — f^^cosX, 



ffi=ff — COSll, ff~ff,=^COSll, 



hi^h — CO.S V ; h — Äj ;= cos v. 



Also ist: • 



u= iff-ffd (fgi-gfd-ß-/,,) ihf\-ßd 



= — cos [X (/■ cos ji — ff cos X) -\- cos V (// cos X — f cos v) 

 = — f{cos [x" + cos V') -|- (^ cos [X + Ä cos v) cos X 

 ^ — f -\- {^f cos X -f ^ <^os [X -|- Ä eos v) cos X , 



= — cos V (9 cos V — // cos fx) -|- cos X (/" cos [X — (/ cos X) 

 = — ^ (^cos X' + cos V") + (/■ cos X -\- h cos v) cos fx 

 = — ^ -j- (/' cos X -\- ff cos [X -|- h cos v) cos [J», 



^V= if-rd ihf,—fh[) — iff~ff,) ifflh—hff,-) 



= — cos X (A cos X — f cos v) -\- cos [x (// cos V — h cos [x) 

 = — h {cos X" -f" ^os fx") -f (/" cos X -\- ff cos {x) cos V 

 = — h -\- (/* cos X -\- ff cos [X -|- k cos v) cos V. 

 Hiernach ist also : 



( U^ — f ~'r if ^0^ ^^ + g ^os [X + /* cos v) cos X , 



22) l r= — g -\- if <^os X + (7 cos fx + Ä cos v) cos [x, 



{ Jf ^= — /' + (/ <^o« ^ + ,9 ^<'*" M- + A '^ö* ^) '^^'s V. 

 Ferner ist 



:^ (/" COS fx — -ff cos X)" + {ff cos V — - // COS [x)' + (/« COS X — f cos v)" 

 = /■■ (cos fx' + cos V") + ^' (^os X" + cos V') -|- h~ {cos X^ + cos jX") 

 — 2fff cos X cos \). — 2 g h cos [x cos -j — 2 hf cos v cos X , 



woraus sich mit Berücksichtigung der Relation 



cos X' -|- cos [X" -|- cos V' = 1 

 auf der Stelle 



23) P = f' + ff' + />' — {fcosX + g cos jx + h cos v)' 

 ergiebt. 



