146 J. A. Grunert. 



ferner: 



8«) 1^-),=-'-^^- 



endlich : 



9*) 



(A — Ai)r, 

 J «I = i 



A 9 



rf/i—rig 



rh, — r, h 



i =— -■ 



§.2. 



Wir wollen jetzt, wenn 



10) Ax + By-\- Cz + D = 



die Gleichung einer beliebigen durch die Mittelpunkte der beiden Kugeln gelegten Ebene ist, uns die 

 folgende Aufgabe stellen: 



Die Gleichungen der in dieser, d. h. durch die Gleichung 10) charakterisirten. 

 Ebene liegenden geraden Linie zu finden, welche die beiden Kugeln entweder von aussen 

 oder von innen berührt. 



Weil die durch die Gleichung 10) charakterisirte Ebene durch die Mittelpunkte (/".(/ A) und (/"i^/i/ii) 

 der beiden Kugeln gehen soll, so hat man die Gleichungen: 



^ iAf + Bg +Ch +D = 0, 



^ \ Af\ + Bg, + €/>,-{- D = 0; 



also 



12) A(f~f,) + B(g — ff,) + C(A--/0 -0, 



und nach 10) und 11): 



iA(x-n + B(y-g) + C(z~h) = 0, 

 ^ \ A(x~f,-) + B(y-g,-) + C(z- Ä,) = 0. 



Die Coordinaten des Berührungspunktes der gesuchten Berührenden mit der grösseren Kugel seien 

 X, Y, Z; so hat man zur Bestimmung dieser Coordinaten zuvörderst offenbar die Gleichungen: 



ix-fy+ ir-ffy+ (z-Ä)' = r. 



Aix—n ^B(r—ff) -^az—h) =0. 



Da ferner die gesuchte Berührende durch die Punkte (j;t)0 und (XTZ) geht, so sind ihre 



Gleichungen : 



x—x y~\) g — s 



x—x r— 11 z— j" 



Die Gleichungen des nach dem Berührungspunkte (^XYZ) gezogenen Halbmessers der grösseren 

 Kugel sind aber: 



x — f .1/ — g s — h 



Y^ Y^ z^nr ' 



