152 J. A. Grunert. 



Folglich ist nach 24) mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander: 



) E yA~+B- + C"~ r-r, V' \. E J ) > V E J 



■^ ^ \e yA^ + B-' + r' »• — »-iV \. E ) ) y y E J 



^.—3 = 



§. s. 



Bekanntlich beziehen in den Gleichungen 24) und 25) die oberen und unteren Zeichen sich auf 

 einander , und was den Winkel w betrifft , so ist aus dem Obigen bekannt, dass wir denselben blos von 

 bis 180° wachsen zu lassen brauchen. Indess ist es für die weitere Entwickelung vortheilhaft , aus den in 

 Rede stehenden Formeln die doppelten Zeichen wegzuschaffen, wodurch eine andere Bestimmung wegen 

 des Winkels (o bedingt wird. Weil nämlich, wie man leicht findet: 



^"^^^ = ifgy —9f,}Esin « — { (/■—/■. ) (///•, —fh,} — (ff — g,) {gK — hg,) } cos^. 



E 



[ßC] 

 E 



= (ghi — hg^)Esin w — { (<7 — gi)if gi— gfd — (h — /h)(/ifi — /"/*,) ]cosio. 



^^^^=(hf,—ß,)Esmo, — {(h — h,}(gh,~/,g,) — (f—f,)(fg,—gf,)}cosi» 



E 



und 



SZH (180" + co) = — sin to, cos (180" + cu) =: — Costa 



ist, so sieht man, dass für zwischen 180° und 360° liegende Werthe von co die Grössen [^ß], [ßC*] , 

 [C Ä\ dieselben absoluten Werthe wie für die zwischen und 180° liegenden Werthe von u) erhalten, 

 aber ihre Vorzeichen ändern. Beachtet man nun die Gestalt der Ausdrücke 24) und 25) von 



X—x, r— 9, 'Z— 3 und X^—x, y, — 9, Z, — j; 

 so wie , dass 



X' + 5' + r= = J ifg,—gf,y + ^gh,-hg,r + W^ -ß,y \ E\ 



also diese Grösse von (u ganz unabhängig ist, so wird auf der Stelle erhellen, dass, wenn man lo nicht, 

 wie bisher, blos von bis 180°, sondern von bis 360° wachsen lässt, es nicht mehr nöthig ist, in 

 den Ausdrücken 24) und 25) die doppelten Zeichen beizubehalten, sondern dass man sich mit einem 

 Zeichen begnügen kann. Ob man aber in den genannten Ausdrücken, unter der gemachten Voraussetzung 

 wegen des Winkels w, die oberen oder die unteren Zeichen nehmen will, ist, wie ebenfalls sogleich 

 in die Augen fällt, an sich ganz gleichgültig, und es wird uns daher verstattet sein, für das Folgende 

 von jetzt an die Bestimmung zu geben, dass in den Ausdrücken 24) und 25) blos die oberen Zeichen 

 genommen werden sollen, natürlich aber mit der gleichzeitigen Bestimmung, dass wir nun den Winkel (o 

 nicht mehr wie bisher blos von bis 180°, sondern von bis 360° wachsen lassen. Unter dieser 

 Voraussetzung wollen wir daher in der Folge immer setzen : 



