154 J. A. Grüner t. 



also immer 



'-(-P)<«- 



Die geometrische Deutung dieser analytischen Resultate unterliegt keinem Zweifel , und braucht hier 

 nicht weiter erläutert zu werden. 



Wegen der doppelten Zeichen in den in ■§. 3 und §. 4 entwickelten Ausdrücken, insofern diese 

 Ausdrücke reelle Resultate liefern, oder die Aufgabe überhaupt möglich ist. giebt es im Allgemeinen immer 

 zwei äussere und zwei innere derselben genügende Berührende, was auch aus der einfachsten geometrischen 

 Betrachtung auf der Stelle erhellet. 



Drittes Capitel. 



Über (He Aufgabe: Wenn eine Kugel und eine durch deren Mittelpunkt gehende gerade Linie, letztere der 

 Lage nach , gegeben sind : die Gleichungen einer geraden Linie zu linden, welche der gegebenen geraden 

 Linie parallel ist , in einer gegebenen durch diese gerade Linie gelegten Ebene liegt, und die gegebene 



Kugel berührt. 



Genauer präcisirt lautet die Aufgabe, mit deren Auflösung wir uns in diesem Capitel beschäftigen 

 werden, folgendermassen: 



Die Gleichungen einer geraden Linie zu finden, welche in der durch die 

 Gleichung 



1) Ax-^ By-^Cz + D = Q 



charakterisirten Ebene, die durch eine gegebene gerade Linie, deren Gleichungen 



„-, ^ — f y — a t^^ 



' cos X cos ß cos V 



sind, gelegt ist, liegt; der durch die vorstehenden Gleichungen charakterisirten 

 geraden Linie parallel ist: und eine aus dem Mittelpunkte (fgh) mit dem Halb- 

 messer r beschriebene Kugel berührt. 



Die Gleichungen der gesuchten geraden Linie haben, wenn wir die Coordinaten ihres Berührungs- 

 punktes mit der aus dem Mittelpunkte {fgh) mit dem Halbmesser r beschriebenen Kugel durch X, Y, Z 

 bezeichnen, oftenbar im Allgemeinen die Form 



X — X y — y i — z 



3) r- = - = 



^ cos /, cos fJ. cos V 



Die Gleichungen der durch die Punkte (fgh) und (XYZ) gehenden geraden Linie sind 



.r — f y — q s — h 



4) r _ J J _ 



oder 



Da nach den Bedingungen der Aufgabe diese Linie auf der durch die Gleichungen 



X — X y — 1' s. — Z 



cos X cos [i cos V 



