Theorie der Sonnenfinsternisse , der Durchgänge etc. 135 



charakterisirten Linie senkrecht stehen inuss, so ist nach den Principien der analytischen Geometrie 



^ cosX X — f cosß Y—g 



cos ij. Z — h cos V Z — h 



oder 



6) G^— /") cos \ + (Y—g) cos y. + (Z — A) cos v = 0. 



Da ferner nach den Bedingungen der Aufgabe die durch die Gleichungen 



j- — X y — y z~z 



cos X cos IX cos V 



charakterisirte Linie in der durch die Gleichung 



Ax + By + Cz-\- D=zO 

 charakterisirten Ehene liegen soll, so ist für jedes x: 



oder 



= 0, 



also 



7) 



(^ cos \ -\- B cos li- -\- C cos v) X 

 + B (Y cos X — X cos [).) -\- C [Z cos \ — X cos v) + -ö cos X 



A cos X + 5 cos [i + C cos V = Ü, 



B {Ycos X — Xcos [i) + C(Z cos X — X cos v) + Z) cos X = 0. 



Die zweite dieser beiden Gleichungen giebt 



— (B cos i). — C cos ^) X+ B cosl.Y^ C cosX.Z+ D cos'k = 0, 

 also vermöge der ersten der Gleichungen 7): 



A cosl.X^ B cos \.Y + C cos X.Z+ D cosX = 0, 

 folglich 



8) AX+ BY+CZ+ D = 0, 



wie sich auch von selbst versteht, da der Punkt {^XYZ) in der durch die Gleichung 



Ja; + % + C2 + Z> = ü 



charakterisirten Ebene liegen muss. 



Der Punkt (^fgh^ liegt auch in dieser Ebene, und es ist folglich 



9) Af+Bg + Ch + 1) = 0, 

 also nach 8) und 9): 



1 0) A (X— /•) + B ( Y—g) + C(Z— Ä) = 0. 



Da nun endlich der Punkt (XYZ) auch in der Oberfläche der aus dem Mittelpunkte (fgh) mit dem 

 Halbmesser r beschriebenen Kugel liegt, so ist 



1 1) (.X-fT + (Y-gy + (Z-hf = r-, 



und zur Bestimmung von X, Y, Z haben wir daher jetzt nach 6), 10), 1 1) die drei folgenden Gleichungen: 



( cos X (X—f) + cos fji iY~g) + cos v (Z— A) = 0, 



12) A(X-0 -f B^Y-g) + C(Z-Ä) = 0, 



( 



i_X~fy + (Y-gf + (Z-Ä)^ = r^ 



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