188 J. A. Grunert. 



Die Entwickelung der Grössen x, y, z aus diesen Gleichungen bietet wesentliche Schwierigkeiten 

 nicht dar. Um jedoch nicht zu weitläufig zu werden, wollen wir dieselben hier nur für den F'all der Kugel, 

 wo e^O ist, und die Gleichungen daher die Gestalt 



-4(.r-/-) + 5(«/-^) + (7(^-/0 = 0, 



. {x — x,y + (.y — 9o)' + (2 — hf = \ E' cosec A'' 



annehmen, auflösen. Hat man x, y, z aus diesen drei letzteren Gleichungen bestimmt, so werden sich, 

 weil £ eine sehr kleine Grösse ist, nach den bekannten Näherungsmethoden immer auch leicht die kleinen 

 Verbesserungen berechnen lassen, welche an die gefundenen Werthe von x, y, z noch angebracht 

 werden müssen, wenn den Gleichungen 



Aix-a + Biy-g} + C{z-h) = {i, 



2 I 2 I 2 I 2 2 2 



ix - x,r + (i/ - 9o)' + (^ - hf = i E' cosec A'' 

 genügt werden soll. 



Aus den drei aufzulösenden Gleichungen 



2 I 2 I 2 2 



x- + ^ + t = « , 

 ix - r.,)^ + (y - 9,,)^ + (^ - 5„)= = \ E' cosec A'' 

 leitet man sehr leicht die beiden folgenden ab: 



Ax + By + Cz = Af+Bg + Ch, 

 X^x + 1^,y + 5ü I = I iu- + ro' + 9o' + ,5«') — 5 E' cosec A''; 

 aus denen sich ferner ergiebt: 



(.4 jo — Cx„ ) X — (rt)„ — Bio)y 



= iAf ^Bg + Ch} j„ - 1 C(«^ + X,' + V,r + W-\ E' cosec A'') , 



iBxo — A 9„) X — iCi)„ — 5,5o) z 



^—iAf^Bg\- Ch) 9o + 1 5 («^' + x:- + 9o^ + jo^ — I ^^ cosec A'') ; 



also : 



_ iAf+Bg + Ch)^„-i B («2 + r„2 + 9„2 + ä«^ - i £« cosecAV) + (ßv„ - Ad„) ;i- _ 



c?«-ßj 



und folglich : 



(5 jo — C%)y = iAf + Bg + (^Ä) 3„ — 1 C(«^ + r.;^ + 9/ + j„-' — ^ E' cosec A'') + (r,r„ — .4^.,) .r, 

 (5j„ — r^o) . =-~- (^/- + hy + rV/) t)„ + I B ia' + v + 9,r + 3,r' — \ E' cosec A'"') + ( .49,, — 6'x„),r. 



