2 Theodor Sc hone mann. 



Bezieht man nämlich den Körper wie die Oberflächen auf ein rechtwinkliges Coordinaten- System 

 und bezeichnet die Gleichunc^cn der fünf Oberflächen durch 



/•, ix y t) = 0, f, Cr y ^) = 0, f, {.v y x) ^ 0, f, (.r y z) = Q und f, (.r y z) = Q 

 und die Coordinaten der fünf Punkte durch : 



Xi yi z, , .r, y,_ z^ , etc. 



so erhält man für diese fünfzehn Grossen, da die Punkte ihre gegenseitige Lage nicht ändern, zunächst 

 folgende neun unabhängige Gleichungen: 



(_.r, - x,r + (y, - y,y + (t, - Z.S- = kr, (X, - x,y + O/3 — yS' + (^3 — ^.)' = ^/ 



(■^3 — .ihf + Ü/3 — i/0' + (^3 — ^0' = ^3' 



(.r^ — Xtf + (?/4 — ^1)' + («4 — ^i)' = kr, (,Ci — .T,)- -f (^4 — ^0' + (-4 — ^2)' = ^5' 



(.1-4 — .1-3)* + (y, — ^3)'- + (r, — Z3)- = ki 



Uh - .r.)' + (Z/. — >/.y + (^3 — m)^ = kr, (x, — x,y + (y, — y,y + (z, — z,y = k,' 



(a-5 — .1-3)' f (y, — y,y 4- (z, — ig)' = /•/ 



wo Ai, /fj etc. die gegenseitigen Entfernungen der fünf Punkte des Körpers angeben. 



Nimmt man nun an, der Körper liege mit fünf Punkten auf den vorher erwähnten fünf Oberflächen, 

 so erhält man noch fünf Gleichungen zwischen jenen fünzehn Grössen, so dass etwa 



fi i^i yi Zi) = , /j {x2 yz i,) = etc. etc. 



wird. Man erhält mithin zwischen den fünfzehn Coordinaten der fünf Punkte des festen Körpers im Ganzen 

 9 + S oder 14 Gleichungen, woraus hervorgeht, dass man durch Elimination nuiss eine Gleichung zwischen 

 je zweien dieser Grössen herstellen können. 



Denkt man sich nun eine solche Gleichung zwischen .Cj und y^ abgeleitet, so muss diese in Verbin- 

 dung mit der Gleichung /"j (.rj ^, t,) = die Gleichungen der Curve bestimmen, auf welcher sich der 

 Punkt des Körpers, dessen ursprüngliche Coordinaten J"i ^i ^i waren, auf seiner Oberfläche bewegen muss. 



Differentiirt man sämmtliche 14 Gleichungen zwischen den Grössen x^ ^, j,, .t'a y.> ^3 etc., so erhält 

 man, wenn man dieselben durch ^/,r, dividirt, 1 4 Gleichungen des ersten Grades für die 1 4 Verhältnisse 



rf .r, rf.f, (i .r, (l .Vi 



woraus zu schliessen ist, dass die Richtung der Curven in den angegebenen Punkten sich stets auf reelle 

 Weise bestimmen lasse. Sollten diese Werthe unter der unbestimmten Form Vp erscheinen, so Avird man 

 einen oder mehrere beliebig annehmen und die andern vermöge jener Gleichungen bestimmen können. 



Anmerkung. Die fünf Punkte, mit denen ein Körper auf fünf Oberflächen geleitet werden kann, 

 dürfen nicht in gerader Linie liegen , denn solche fünf Punkte würden die jedesmalige Lage des geleiteten 

 Körpers noch nicht bestimmen, sondern vielmehr nur eine Drehungaxe desselben, und man würde dann im 

 Allgemeinen den Körper mit einem sechsten Punkt noch auf einer sechsten Fläche leiten können. In der 

 That lässt sich leicht nachweisen , dass eine gerade Linie mit 4 constanten Punkten sich auf 4 Oberflächen 

 leiten lasse, denn man erhält zwischen den 12 Coordinaten der 4 Punkte die folgenden 11 Gleichungen: 



(x, — .r,)' 4- (1/2 — y,y + (v, — z,y = Ar ; (.«-3 — .i-,)" + Cj/3 — y,)' + (^3 — ^y = k-i 



U'i — -i^d' + (2/4 — l/d' + (-4 — -1)' = ^"3* 



