Theorie und Beschreibung einer neuen Brücken-Wage. 5 



Ausserdem ist klar, dass J C = a «3 = 6, 6j = c, c; A B = a a, = hy b = Ci c.^; B C = a^ «3 

 = l) hi = C2 c ist. Es ist mithin Dreieck abc ^ Dreieck a «3 «,. Projicirt man nun sämmtliche betrach- 

 teten Dreiecke auf eine jener Parallel -Ebenen, so müssen die Projectionen von ABC, a a^ a^ und ahc 

 congruente Figuren werden ; die Projectionen der homologen Seiten von ABC und a Ö3 ö.^ sind, wie diese 

 Seiten selbst, parallel und da die Projection von a b c durch Drehung um a in die Projection von a % a^ 

 übergehen kann, so muss nun auch die Projection von a b c, ohne dass sie aus der Projections- Ebene 

 herausgenommen zu werden brauchte, sich auf die Projection von ABC schieben lassen. Es können 

 mithin die Projectionen von ABC und a b c durch Drehung um einen Punkt s in ihrer Ebene in einander 

 übergehen. Den Punkt s erhält man in dem Schnittpunkte der Perpendikel, die man auf die Verbindungs- 

 linien zweier homologen Punkte der Projectionen in ihren Halbirungspunkten errichten kann. Dreht man 

 nun ABC nebst seiner Projection so, dass letztere in die Lage der Projection von a b c übergeht und 

 erhebt dasselbe sodann in senkrechter Richtung gegen die Projections-Ebene, um die Höhe des Tetraeders 

 A a 6, c, , so muss offenbar Dreieck A B C \n Dreieck a b c übergegangen sein. Denkt man sich Erhebung 

 und Drehung gleichzeitig und gleichförmig ausgeführt, so erhält hierdurch ABC eine Schraubenbewegung, 

 imd man kann sagen, dass zwei congruente Dreiecke stets durch Schraubenbewegung in einander übergehen 

 können. Da aber zwei congruente Körper zusammenfallen müssen, wenn drei homologe Punkte von ihnen 

 zusammenfallen, so kann man stets einen Körper in die Lage eines zweiten congruenten Körpers durch 

 Schraubenbewegung übergehen lassen. Da es nun also für zwei congruente Körper ein System von Parallel- 

 Ebenen gibt, der Art, dass je zwei solcher Ebenen, die durch zwei homologe Punkte der Körper gehen, 

 eine constante Entfernung von einander haben und dieses System auf der Axe der Schraubenbewegung 

 senkrecht steht — da es ferner für zwei congruente Dreiecke nur ein solches System gibt, welches auf 

 die angegebene Weise gefunden werden muss, so gibt es überhaupt auch für zwei congruente Körper nur 

 ein solches System paralleler Ebenen, und da dies durch irgend zwei homologe Dreiecke beider Körper 

 gefunden werden kann, so erhält man folgenden Satz : Hat man zwei congruente Körper im Räume und denkt 

 sich durch irgend einen Punkt eine Schaar von begrenzten Linien gelegt, die den Verbindungslinien der 

 homologen Punkte der Körper gleich und parallel sind , so liegen die Endpunkte in einer Ebene und es gibt 

 das Perpendikel von auf diese Ebene die Richtung der Axe der SchraubenbeAvegung an, durch welche 

 ein Körper in die Lage des andern übergehen kann. — Geht ein Körper also durch Bewegung in 

 eine nächste Lage über und man kennt die Richtung und das Verhältniss dreier Bahn-Elemente, so kann man 

 die Grösse jedes andern Bahn -Elementes leicht foigendermassen bestimmen: Man ziehe aus einem Punkte 

 drei Linien, welche den drei Bahn-Elementen gleich und parallel sind, verbinde ihre Endpunkte durch eine 

 Ebene c, ziehe durch eine Linie parallel mit der Richtung des Bahn-Elementes , dessen Grösse gefunden 

 werden soll, so ist die Strecke zwischen der Ebene und gleich der gesuchten Grösse. Geht die Ebene aber 

 durch selbst, so geht der eine Körper in den andern durch blosse Drehung über und die zuletzt gegebene 

 Construction wird unbestimmt, lässt sich aber dann leicht durch eine andere ersetzen. 



Um nun von hier aus die Sätze über die Richtung der Bahn-Elemente abzuleiten, bemerke man, dass 

 eine constante Linie, die mit einem bestimmten Punkte an einer zweiten Linie rechtwinklig nach irgend 

 einem Gesetze geführt wird, mit ihren sämmtlichen Punkten Bahnen beschreibe, die rechtwinklig auf der 

 geleiteten Linie stehen. 



Eine Ausnahme von dieser Regel findet nur an den Punkten Statt, in welchen sich zwei auf einander 

 folgende Lagen der geleiteten Linien scheiden und wo mithin die Bahn eines solchen Punktes gegen die 

 Bahn auf den Leitungen verschwindet. 



Dass dieser Satz stattfnidet, wenn die Linien in einer Ebene geleitet werden, folgt daraus, dass man 

 jede unendlich kleine Bewegung einer solchen Linie durch eine Drehung um einen Punkt hervorbringen 



