Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung. 43 



sein soll, so muss 



2 A z = £,' 



3 A 3 = 5.' 

 4A = £3' 



sein; es ist somit 



F= (4> + 4 2/ + ^ </ 2 + ^ y 5 + ^ **+•■•) + 



+ y'(B + /?, ?/ + B 2 y* + ß 3 ?/3 + ß 4 y* + . . .) 

 oder 



F= A + A t y + B y' + [yf+yJ J + jüH- J 



Wir schliessen hieraus auf folgende Form von V 



V = ? (x) + y y, (a?) + y' y 2 (a?) + [<p f>, ?/)]'. 



für die man auch, unter Beibehaltung derselben Allgemeinheit 

 setzen kann 



V=yF i O) + [F,C*.y)J 



unter f, f t , f z , $ sowohl, als auch unter F t und F z willkürliche 

 Functionen verstanden *). 



Anmerkung. Wir haben uns hier, der so oft verschmähten Methode der 

 unbestimmten Coefficienten bedient; das Resultat, das wir gefunden, 

 ist aber dennoch von allen Mängeln frei, die der genannten Methode 

 anhaften, so ist z. B. nicht nothwendig [F„ (.r, j/)]' in eine Reihe nach 

 aufsteigenden Potenzen von y entwickelbar; denn der eben gefundene 

 Werth von V leistet der Gleichung (65) Genüge, wie auch immer die 

 Functionen F t und F„ beschaffen sind. Wir wollen daher auch in der 

 Folge bei ganz ähnlichen Fragen, uns des Nutzens, welche diese 

 Methode gewährt, nicht entschlagen. 



Es lässt sich also jederzeit V betrachten unter einer der drei 

 folgenden Formen: 



V= <p 0>. y, y') 



V = f (.r, y) -f y' ty (.r, y) 



J ) Am Schlüsse des §. 8 unseres ersten Memoires sagten wir, dass in diesem Falle Vdx 

 ein vollständiges Differentiale sei; wie man hier sieht, ist aber Vdx gleich einer 

 Summe aus einem vollständigen Differential und einem Ausdruck der Form yF i (x)dx. 

 Dasselbe gilt auch für den Scbluss der §§. 10 und 13. 



